(1.2.22)
非奇异方阵 A 之逆等于它的伴随矩阵被 A 的行列式所除，即
(1.2.6)
ˆ 在 F 表象中的表示(用圆括号括号的符号，表示是一个矩阵，不加括号时，则表示该 矩阵 ( L jk ) 称为算符 L ˆ 作用下如何变化。 ˆ 运算后(变 矩阵的矩阵元)。 它的矩阵元 L jk 刻画 F 表象中的基矢 k 在算符 L 基矢 k 在 L
L1k ˆ )在 F 表象中的表示(分量)，即矩阵 ( L ) 的第 k 列元素 L 。因此，矩阵 ( L ) 一经给定，则任何 成L k jk jk 1k
(1.2.14)
* , A* 表示。 A 的转置共轭矩阵也用有符号 A† , A
凡方阵 A 和它的转置共轭矩阵 A 相等者，则称为 A 的 Hermite 对称矩阵 (Hermitian sysmmetric maxtrix)，简称 Hermite 矩阵，即
H
A = AH
aij a*ji
(1.2.15)
式中， ij 称为克罗内克符号(Kronecker delta)，它的意义是
ij
0 (i j ) 1 (i
AB BA
用其乘积也是对角阵。 对角线上各元素为 1，其余均为零的方阵称为单位矩阵(unit matrix)，以 I 或 [ ij ] 表示，即
0 0 0 。 0 0 0
0 0 [bij ij ] b33
除对角线上各元素外，其余都是零的方阵称为对角阵，例如：
a11 A 0 0
0
a22 0
0 b11 0 0 [aij ij ] ， B 0 b22 a33 0 0
AA1 = A1 A = I
。 则 A 称为 A 的逆矩阵(inverse matrix)，简称“逆” 凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉阵或幺正矩阵(unitary matrix)，以 U 表示，即
1
(1.2.18)
U 1 U H U HU 1 U 1U = I
(1.2.19) (1.2.20)
(1.2.1)
1.2.2
矩阵力学表述
ˆ 运算后，变成另一个态 设量子态 ，经过算符 L
ˆ L
在以 k 为基矢的 F 表象中，上式表示为 (1.2.2)
b
k k
*
k
ˆ a a L ˆ L k k k k
k k
(1.2.3)
两边左乘 j (取标积)，得：
ˆ )a L a b j ( j , L k k jk k
当 A 之元素 aij 全部为实数，且 aij a ji 时，则称 A 为对称矩阵。 方阵 A 的对角元素之和称为迹(trace or spur)，以 TrA 或 SpA 表示，即
TrA SpA aii
i 1
n
(1.2.16)
方阵 A 的行列式为：
a11 | A || aij | a21 an1
1.2.1
薛定谔波动力学方法
如果波函数用如坐标表象或动量表象来表示波函数，动力学方程用薛定谔方程表达，是一种通常的表 示达方式。同一量子态 在 F 表象和 F 表象中的不同表示关第，它们通过一个矩阵 S 相联系，可以证明：
S † S SS † 1
即变换矩阵 S 乃是一个幺正矩阵，这种变换也称为幺正(unitary)变换。
k k
(1.2.4)
式中：内积的表示为：
ˆ ) d 3 r * L ˆ L jk ( j , L k j k

(1.2.5)
式(1.2.4)可写在矩阵形式
b1 L11 b L 2 21
L12 a1 L22 a2
c12 c22 an 2
n k
c1k a2 k cnk
(1.2.11)
cij aip bpj
p 1
m
(i 1, 2, , n; j 1, 2, , k )
(1.2.12)
由此定可见，只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才能相乘，否则不能相乘。 把矩阵 A [ aij ] 的行列互换，称为矩阵的转置，用 A 表示，即：
如果酉阵的元素都是实数，则此酉阵为正交阵(orthogonal matrix)。 n 阶酉阵的各行或各列形成一组 n 个正 交归一的矢量。反过来，由一组 n 个正交归一矢量组成的方阵是酉阵。酉阵之逆也是酉阵。 把矩阵 A 中与 aij 同行和同列的各元素划去后，余下的矩阵的行列式 Aij 称为余子式(minor)。
a11 a A 21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33

| | A12 | | A13 | | A11 | | A22 | | A23 | adjA | A21 | A | | A | | A | 32 33 31
3
a11 a C AB 21 an1
式中：
a12 a1m b11 b12 a22 a2 m b21 b22 an 2 anm bm1 bm 2
n m
mk
b1k c11 b2 k c21 amk cn1
a11 a A [aij ] 21 an1
a12 a22 an 2
a1m a2 m anm
(1.2.7)
A 称为 n m 矩阵，它有 n 行和 m 列。矩阵中包含的“数”称为矩阵的元素，简称矩阵元。第 i 列和第 j 列
的矩阵元，以 aij 表示。通常，矩阵以大写的黑体字表示，如 A ，或用矩阵元外加方括号表示，如 [aij ] 。 有时把矩阵的行数 n 和列数 m 注在左下角，如 [aij ]nm 。当矩阵的行列数相等时，称为方阵。 零矩阵 [0] 或 0 是全部矩阵元为零的矩阵，如 [0]23
T
A [aij ]
T

AT [a ji ]
(1.2.13)
若在转置矩阵 A 中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵(the transpose complex conjugate of a matrix)，用符号 A 表示，即
H
A [aij ]

AH [ a * ji ]
1.1
半经典理论的一些物理假设
半经典理论的处理方法，主要有薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景，以及密度矩阵的方案，其 处理手段上虽有不同，但其结果是一致的。但不同的处理方案，对理解相关的量子力学处理方法与概念有 着不同意义，为了加深理论，用量子力学绘景和密度矩阵的方法处理光与物质相互作用的问题，主要是用 密度矩阵的方法。这一章简单讲述量子力学绘景的处理方法。 光与物质相互作用半经典理论主要基于的物理假设有： 1. 二能级近似 实际的原子、分子或其他物质体系总是有许多能级的，但在体系的许多能级中，如果只有二个成对的 能级的能量差接近作用光场的频率，那么其他能级的贡献可以忽略不计，只考虑有显著贡献的二个能级， 这就是光与物质相互作用的二级能近似模型。用光与二能级原子体系作用作为基本模型，既可以简化问题 又能反映出问题的本质。 2. 近共振激发 光场的能量等于或接近于二能级的能级差，且上、下能级有布居交换。 3. 忽略原子间的直接相互作用 原子间总是有存在各种各样的相互作用的，但是当原子的密度比较低时，原子间直接相互作用，可以 忽略。原子之间的碰撞作用可唯象地归入原子的驰豫或衰减。 要注意的是：体系中各个原子都在同一光场耦合，原子之间的这种间接作用，在一定条件下会导致原 子的集体效应。但这并非原子间的直接作用。 考虑原子间的相互作用，在原子密度较高时，采用近偶极-偶极相互(NDD)作用模型。如果涉及原子间 的量子相关，如量子纠缠，也是要考虑原子间的相互作用的。 4. 电偶极近似 光与原子相互作用时，通常原子的大小远小于光波的波长，这样，在原子的大小范围内，自然可以把 光场看成常数。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射时，电偶极近似是很好的近似。 5. 旋转波近似(RWA) 忽略掉非共振的高频项。 6. 慢变振幅近似 通常光场与极化强度可以分为慢变部分与高频的快变部分，如果慢变部分在一个光学周期内的变换可 以忽略不计，就称为慢变振幅近似或简称为慢变近似。 7. 绝热近似 如果光场的驰豫时间很长，即光场的损耗很小，而原子的变量(如偶极矩等)的驰豫时间短。这样，当 光场的慢变部分变化时，原子可以很快地、即时地跟随光场的变化；反过来说，在原子的驰豫时间内，光 场的慢变振幅可以看成与时间无关的常数。
a12 a1n a22 a2 n ann
(1.2.17)
如果 | A | 0 ， A 称为奇异方阵(singular matrix)， | A | 0 时，称为非奇异方阵(non-singular matrix)。 如果方阵 A 为非奇异的，则可找到另一个同阶方阵 A ，使
4
1
2
ˆ 运算下的变化就随之完全确定。 一个量子态在 L
由此可见， 在引入特定表象后， 量子力学中的波函数、 力学量以及所有公式都可以矩阵的方式来表达。 矩阵的方式有利于理解量子力学的运算方式并方便程序化。 矩阵是由矩阵是量子力学中常用的数学工具之一，下面我们简述一些基本表述与性质，以便应用与理 解有关内容。 矩阵是由英国数学家 Cayley(1821~1895)和 Sylvester(1814~1897)大约在 1850 年左右提出来的。 Cayler 在研究坐标变换中中，引进矩阵的概念。矩阵是按矩形排列的一组“数” ，可表示如下：
1
1.2
量子力学的表述方法
量子力学对粒子微观状态的描述有二种基本的方法，即薛定谔波动力学方法和矩阵力学方法。薛定谔 的波动力学方法物理概念比较清楚，微观粒子波粒二象性表现的也比较清楚，是量子力学的主流方法。狄 拉克的矩阵力方法表述比较简单，在处理实际问题中得到广泛的应用。 另外还有一种狄拉克(Dirac)符号表示法。