第31章 圆的有关性质一、选择题1. 如图，,,A B C 是O 上的三点，30BAC ︒∠=，则BOC ∠= 度．【答案】602. 如图，⊙O 的半径是1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC =36°，则劣弧 ⌒BC 的长是（ ）A ．π5B ．25πC ．35πD ．45π【答案】B3. 如图2,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若120AOB ∠=,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ） A ．3R r =B ．3R r =C ．2R r =D ．22R r =【答案】C4. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB =6，则⊙O 的半径为（ ）ABO C 图2NM B AA. 2B.2 2C.22D.62【答案】A5. 在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）（A ）6分米 （B ）8分米 （C ）10分米 （D ）12分米 【答案】C6. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角45ACB ∠=︒，则这个人工湖的直径AD 为（ ）A. 502mB.1002mC.1502mD. 2002m【答案】B 7. 如图，AB O 为的直径，点C 在O 上，若16C ∠=︒,则BOC ∠的度数是（ ）A.74︒B. 48︒C. 32︒D. 16︒A OBCD【答案】C8. 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB ，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A.16B.10C.8D.6COA B【答案】A9. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A. 12个单位B. 10个单位C.4个单位D. 15个单位【答案】B10．如图，⊙O是△A BC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B11. 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12(第5题图)BOC【答案】A12. 如图(六)，BD 为圆O的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点。

若∠ADE ＝ 19，则∠AFB 的度数为何？A ．97B ．104C ．116D ．142 【答案】C13. 如图(六)，△ABC 的外接圆上，AB 、BC 、CA 三弧的度数比为12：13：11．自BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC 、直线AB 的并行线，且交BC 于E 、F 两点，则∠EDF 的度数为何？A ． 55B ． 60C ． 65D ． 70 【答案】Ｃ14. 如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt△ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。

则⊙O 的半径为 A ．6B ．13C 13D ．13（第6题）ABO【答案】C15. 如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（ B ）(A)116° (B)32° (C)58° （D)64°【答案】B16. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为A．1B C．2 D．OCAB【答案】D17. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为a的值是A．B．2+C．D．2+【答案】BAB CO1.18. 如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于A.8B. 2C. 10D. 5【答案】D19. 如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（）A．2cm B．3cmC．4cm D．221cm【答案】CBC ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 20．矩形ABCD中，AB＝8，35为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内．【答案】C21.如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=A ．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】 C22.如图，100AOB ∠=，点C 在O 上，且点C 不与A 、B 重合，则ACB ∠的度数为（ ） A ．50 B ．80或50 C ．130 D ．50 或130【答案】D23. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是A ． 115°B ． 105°C ． 100°D ． 95°【答案】B24. 如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为（ ）A .70︒B . 35︒C . 30︒D . 20︒第9题图OD【答案】B25. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠A=30°,则∠B 的度数为ABC DEA ．15° B. 30° C. 45° D. 60°【答案】D26. 如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ） （A ）6（B ）8（C ）10（D ）12【答案】A 二、填空题1. 如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE∽△ADO ；④AB CE CD ⋅=22．其中正确结论的序号是．【答案】①④2.如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O的半径是 ．（第16题）ABDCOECABO（第6题）ABO【答案】 53. 如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=【答案】40°4. 如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是．【答案】如：x2-5x+1=0；5. 如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为。

【答案】260CD ,则6. 如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,42∠AED= .【答案】30°7. 如图，△ABC的外心坐标是__________.【答案】（－2，－1）8. 如图，点A，B，C，D都在⊙O 上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD十∠CAO= °．【答案】53°9. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则AB的长是．【答案】610．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC 于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE 与DA的比例中项；④ABCECD⋅=22．其中正确结论的序号是．O xyBCA【答案】①④11. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是.（写出符合的一种情况即可）【答案】 2（符合答案即可）12. 如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度。

【答案】63°13. 如图2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________.图 2OBA【答案】20°14. 如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO .以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF .若∠BAC =22º，则∠EFG =_____.【答案】12（第16题）ADCOEODBC15. 如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点p是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cmPOBA【答案】2416. 已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=____________.【答案】150°17. 如图,已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝ .【答案】：60°18. 如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度.【答案】9019.如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．ABD第16题图【答案】4020．如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝_________．【答案】621. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．【答案】6522. 如图（5），△ABC 内接于圆O ，若∠B ＝300.AC ＝3，则⊙O 的直径为 。

【答案】2323. 如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD =40°，则∠FCD 的度数为 ．(第13题)N MO C BA（第18题）【答案】 2024. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直弦AB 于点E ，连接OB,CB ，已知⊙O 的半径为2，AB=32,则∠BCD=________度．【答案】3025. 如图,DE 是⊙O 的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.答案：4，926. 如图，BE 是半径为 6 的⊙D 的41圆周，C 点是BE 上的任意一点， △ABD 是等边三角形,则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（第8题）E OCBA第14题图B【答案】1818p <≤+27. 如图7，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D 在AB 的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．图7【答案】2728. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B＝40°，则∠ACD 的度数是 .A【答案】50°三、解答题1. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .证明：（1）∵PG 平分∠EPF ， ∴∠DPO =∠BPO ， ∵OA//PE ，∴∠DPO =∠POA ， ∴∠BPO =∠POA ，∴PA =OA ； ……2分解：（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH =HB =12AB ，……1分 ∵ tan∠OPB =12OH PH =，∴PH =2OH ， ……1分 设OH =x ，则PH =2x ，由（1）可知PA =OA = 10 ，∴AH =PH －PA =2x －10， ∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+=， ……1分 解得10x =（不合题意，舍去），28x =， ∴AH =6， ∴AB=2AH=12； ……1分（3）P 、A 、O 、C ；A 、B 、D 、C 或 P 、A 、O 、D 或P 、C 、O 、B .……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)2.如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂P线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°, ∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ……4分（2）连结OD,∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°, 又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线, ∴OD =OA =10, 在Rt△ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10-6=4,由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ，∠OEF =∠DEA ， 得△OEF ∽△DEA, ∴OE EF DE AE =,即684EF=，∴EF =3；……4分 （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ，当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE =25， ∴E 1（25，0）； 当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5-x , AE =10-x ， ∴CF ∥AB ,有CF =12AB , ∵△ECF ∽△EAD,∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得：310=x ,∴E 2（310，0）;②当交点E 在点C 的右侧时， ∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ， 连结BE ，∵BE 为Rt△ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD, ∴∠BEA =∠BAO, ∴∠BEA =∠ECF,∴CF ∥BE, ∴OEOCBE CF =, ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt∠，∴△CEF ∽△AED, ∴CF CEAD AE =, 而AD =2BE , ∴2OC CEOE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去）， ∴E 3（41755+，0）;③当交点E 在点O 的左侧时， ∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ，得BE =AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ∴∠ECF =∠BEA, ∴CF ∥BE, ∴OEOCBE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt∠，∴△CEF ∽△AED, ∴AD CFAE CE =， 而AD =2BE , ∴2OC CEOE AE=, ∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去）,∵点E 在x 轴负半轴上, ∴E 4（41755-，0）,综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．……4分3. ●观察计算当5a =，3b =时，2a b+_________________． 当4a =，4b =时， 2a b+的大小关系是_________________．●探究证明如图所示，ABC ∆为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ．（1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ； （2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+与的大小关系是：_________________________． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．AB【答案】●观察计算:2a b +2a b+分 ●探究证明： （1）2AB AD BD OC =+=，∴2a bOC +=…………………3分 AB 为⊙O 直径, ∴90ACB ∠=︒.90A ACD ∠+∠=︒，90ACD BCD ∠+∠=︒， ∴∠A =∠BCD .∴△ACD ∽△CBD . …………………4分 ∴AD CDCD BD=. 即2CD AD BD ab =⋅=,∴CD =分 （2）当a b =时,OC CD =,2a b+a b ≠时,OC CD >, 2a b+分 ●结论归纳: 2a b+≥ ………………7分●实践应用设长方形一边长为x 米,则另一边长为1x米,设镜框周长为l 米，则 12()l x x=+≥4= ． ……………9分当1x x=,即1x =（米）时,镜框周长最小． 此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. ………………10分 4. 如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .(1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.A B【答案】（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =.∴BD CD =. ···················· 3分 （2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ··· 4分 理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =. ················· 6分 由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. …………………7分 5. 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r . （1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.【答案】（1）证明：连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ .∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ ＝90°.ABCEFD(第19题)ABCDEF P.O G（图1） .AB CDE.OG （图2）∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴OE OF=.∴OE·OP＝OF2＝r2.OF OP（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴OP OF=，∴OE·OP＝OF2＝r2.OF OE6. 阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt∆ABC是奇异三角形，求a：b：c；ABD的中点，（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆⌒CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．○1求证：∆ACE是奇异三角形；○2当∆ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】解：（1）真命题 （2）在Rt ∆ABC 中a 2＋b 2＝ c 2， ∵c ＞b ＞a ＞0∴2c 2＞a 2＋b 2，2a 2＜c 2＋b 2∴若Rt ∆ABC 是奇异三角形，一定有2b 2＝c 2＋ a 2 ∴2b 2＝a 2＋（a 2＋b 2） ∴b 2＝2a 2 得：b ＝2a ∵c 2＝b 2＋ a 2＝3a 2 ∴c ＝3a∴a ：b ：c ＝1：2： 3(3)○1∵AB 是⊙O 的直径ACBADB ＝90° 在Rt ∆ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2 在Rt ∆ADB 中，AD 2＋BD 2＝AB 2 ∵点D 是半圆 ⌒ABD 的中点 ∴ ⌒AD ＝ ⌒BD ∴AD ＝BD∴AB 2＝AD 2＋BD 2＝2AD 2 ∴AC 2＋CB 2＝2AD 2又∵CB＝CE ，AE ＝AD ∴AC 2＝CE 2＝2AE 2∴∆ACE 是奇异三角形 ○2由○1可得∆ACE 是奇异三角形 ∴AC 2＝CE 2＝2AE 2当 ACE是直角三角形时由（2）可得AC：AE：CE＝1：2：3或AC：AE：CE＝3：2： 1（Ⅰ）当AC：AE：CE＝1：2：3时AC：CE＝1：3即AC：CB＝1： 3∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝30°∴∠AOC＝2∠ABC＝60°(Ⅱ)当AC：AE：CE＝3：2： 1时AC：CE＝3： 1即AC：CB＝3： 1∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC的度数为60°或120°7. 如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或 .【解】（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB，∵AB=12，∴AH=6，由（1）可知PA=OA=10，∴PH=PA+AH=16，OH=102－62=8，∴tan∠OPB=OHPH=12；（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8. 如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M 1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．【答案】（1）∵AB 为⊙O 直径 ∴∠ACB=90°∵△DCE 为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B、C 、E 三点共线． （2）连接BD ，AE ，ON ． ∵∠ACB=90°，∠ABC =45° ∴AB=AC ∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD≌△ACE ∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD⊥AE ∵O，N 为中点 ∴ON∥BD，ON=12BD同理OM∥AE，OM=12AE∴OM⊥ON，OM=ON ∴MN=2OM （3）成立图71图8证明：同（2）旋转后∠BCD 1=∠BCE 1=90°－∠ACD 1 所以仍有△BCD 1≌△ACE 1，所以△ACE 1是由△BCD 1绕点C 顺时针旋转90°而得到的，故BD 1⊥AE 1 其余证明过程与（2）完全相同．9. 如图，在平面直角坐标系中，点A (10，0)，以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【解】(1)连结BC ，∵A (10，0)，∴OA =10，CA =5， ∵∠AOB =30°， ∴∠ACB =2∠AOB =60°， ∴⌒AB 的长=60×π×5180=5π3；（2）连结OD ，∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，又∵AB= BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD= OA=10，在Rt△ODE中，OE=OD2－DE2=102－82=6，∴AE= AO－OE =10－6=4，由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴AEDE=EFOE，即48=EF6，∴EF=3；(3)设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC的中点，即OE=5 2，∴E 1(52，0)；当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5－x ，AE =10－x ，∴CF //AB ，有CF =12AB ，∵△ECF ∽△EAD ，∴CE AE =CF AD ，即5－x 10－x =14，解得x =103，∴E 2(103，0)； ②当交点E 在C 的右侧时， ∵∠ECF >∠BOA∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ， 连结BE ，∵BE 为Rt△ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD ， ∴∠BEA =∠BAO ， ∴∠BEA =∠ECF ， ∵CF //BE ，∴CF BE =OC OE， ∵∠ECF =∠BAO ，∠FEC =∠DEA =Rt∠，∴△CEF ∽△AED ，∴CF AD =CEAE ，而AD =2BE ，∴OC 2OE =CE AE， 即52x =x －5 10－x， 解得x 1=5+5174，x 2=5－5174<0（舍去），∴E 3(5+5174，0)； ③当交点E 在O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF >∠ECF∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ， 连结BE ，得BE =12AD =AB ，∠BEA =∠BAO ， ∴∠ECF =∠BEA ， ∴CF //BE ，∴CF BE =OCOE， 又∵∠ECF =∠BAO ，∠FEC =∠DEA =Rt∠，∴△CEF ∽△AED ，∴CE AE =CFAD ，而AD =2BE ，∴OC 2OE =CE AE， ∴52x =x +5 10+x ，解得x 1=－5+5174，x 2=－5－5174<0（舍去）， ∵点E 在x 轴负半轴上，∴E 4(5－5174，0)，综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点E 坐标为： ∴E 1(52，0)、E 2(103，0)、E 3(5+5174，0)、E 4(5－5174，0).10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）。