1 1 z − z0 ≥ d , ≤ z − z0 d d z − z0 − Δz ≥ z − z0 − Δz > , 2
z∈C
1 取 Δz < d , 则有 2
2 < z − z0 − Δz d 1
ML ( L — C 的长度） ∴ I < Δz 3 πd 显然， lim I = 0 , 从而有
两边在积分号下对 z 0求导得 f (z) 1 f ' ( z0 ) = dz 2 ∫ C 2π i ( z − z 0 )
2! f (z) f " ( z0 ) = dz 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) = ( n = 1,2, n+1 dz ∫ 2πi C ( z − z0 )
1 I = 2π
∫
C
Δ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
Δz f ( z ) z − z0 − Δz z − z0
2
C
ds
∵ f ( z )在C上解析， ∴ f ( z )在C上连续 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
)
以下将对这些公式的正确性加以证明。
定理
解析函数 f ( z )的导数仍为解析函数 , n! ( z0 ) = 2π i
它的 n 阶导数为 f
(n)
∫
f (z) ( z − z0 )
n+1
C
dz
( n = 1, 2,

)
其中 C 为在 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z 0的 ∀ − 正向简单闭曲线 , 而且它的内部 ⊂ D .
z
cos π z 1) ∫ dz 5 C ( z − 1)
解
1) ∵ cos πz在全平面处处解析 cos πz 2πi (4) (cos πz ) ∫C ( z − 1)5 dz =（5 − 1） !
5 π 2πi = i ( −π 4 ) = − 4! 12 z =1
e 2) ∵ 2 在 z = ± i处不解析 .取 C 1 : z − i = ρ 1 2 ( z + 1) C 2 : z + i = ρ 2 , C 1 , C 2不相交且在 C的内部 ez ez ez ∴∫ dz = ∫ dz + ∫ dz 2 2 2 2 2 2 C (1 + z ) C (1 + z ) C (1 + z ) ez ez ( z + i )2 ( z + i )2 dz + ∫ dz =∫ 2 2 C1 ( z − i ) C2 ( z + i ) z z 2πi e 2πi e = ( )' + ( )' 2 2 ( 2 − 1)! ( z + i ) z = i ( 2 − 1)! ( z − i ) z = − i
1 2
z
= =
π
2
(1 − i )( e − ie )
i
−i
π
2
(1 − i ) (cos 1 − sin 1) = πi 2 sin(1 −
2
π
4
)
Δz→ 0
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 ) 1 f (z) = f ' ( z0 ) = lim dz （*） 2 ∫ Δz → 0 Δz 2πi C ( z − z0 )
再利用(∗)式及推导(∗)的方法可证 n = 2的情形 .
f ' ( z0 + Δz ) − f ' ( z0 ) f ' ' ( z 0 ) = lim Δz → 0 Δz f (z) 2! dz 依次类推，用数学归纳法可得 = 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 )
f
(n)
n! ( z0 ) = 2π i
f (z) ∫C ( z − z0 ) n +1 dz
定理表明 f ( z )在 z平面上 D 内解析 ⇒ f ( z )在 D 内 具有各阶导数 , 即在 D 内解析 − − 无穷次可导 .
一个解析函数的导数仍为解析函数。
例1 求下列积分值
C : z = r >1 e 2)∫ dz 2 2 C (1 + z )
§6 解析函数的高阶导数 内 容 简 介
本节研究解析函数的无穷次可导性，并导 出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函 数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值 也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这 一点与实变函数有本质区别。
形式上， 1 对积分公式 f ( z 0 ) = 2π i
∫
C
f (z) dz ( z 0 ∈ D ) z − z0
证明 用数学归纳法和导数定义。 先证 n = 1的情形 .
∀z0 ∈ D
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) f ' ( z 0 ) = lim Δz → 0 Δz
f (z) 1 由柯西积分公式 f ( z 0 ) = dz ∫ 2π i C z − z 0 1 f (z) f ( z0 + Δz ) = dz ∫ 2π i C z − z 0 − Δ z f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f (z) dz] [∫ dz − ∫ = C z−z 2πiΔz C z − z0 − Δz Δz 0 f (z) 1 dz = ∫ 2πi C ( z − z0 − Δz )( z − z0 ) 令为I 1 1 Δ zf ( z ) f (z) dz + dz = 2 2 ∫ ∫ 2π i C ( z − z 0 ) 2π i C ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )