曲线积分求得； 2）已知积分曲线：z x(t) iy(t) ， （ t ），则复变积
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)

1
2 i
C
f

( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )

f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1

1 2
，2） C
:
z
1

1 2
，3） C :
z

2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
dz

2 i n!
f
(n) (z0 )
例 6：计算下列积分，其中 C 为正向圆周 z r 1，
1）
C
cos z (z 1)5
dz
，2）
C
(
z
ez 2
1)2
z z0

2 if
(z0 )
例
1：计算积分
C
(z
1 1)( z

dz 2)
，其中：
1）
C
是正向圆周 |
z
|
1 2
；
2）
C
是正向圆周
|
z
1|
1 4
；
3） C 是正向圆周| z | 3 。
例
2：设
f
(z)

| |2
(
2 1) sin z
d
，求
f
(i)
。
例 3：求下列积分
dz
。
例
7：计算积分
C
sin2 z dz z2 (z 1)
，其中曲线
C
为正向圆周
| z | 2 。 (2 i sin2 1)
例 8：计算积分 C z3c(ozsz1)dz ，其中曲线 C 为一条不经过点
z 0 ， z 1的正向简单闭曲线。 i(2cos11) 。 小结复变函数积分的计算： 1）复变函数的积分可通过两个实的二元函数关于坐标的
z 0 | z|
由 f ( )的连续性，即可证明。
注 1．定理证明中关键性一步，是把函数沿任意闭曲线 C
的积分，化为沿以 z 为圆心， 为半径的圆周的积分。
注 2．上公式表明从解析函数在边界曲线 C 上的值可以推
知它在 C 内一切值。
注 3．一般用来求积分值：
C
f (z) dz
，故 F(
)在C
内除
z
点外均解
析。今以 z 点为心，充分小的 0 为半径作圆周 ，使 完
全含于 C 内。利用闭路变形公式，有

C
f
(
)d z

f ( )d
| z| z
（该积分与

无关）。
因此只要证
lim
f ( )d 2 if (z)
将柯西积分公式形式地在积分号下对 z 求导后得
f
( z )

1 2 i
C
f (
( ) z)2
d
，
f (n) (z) n!
f ( ) d
2 i C ( z)n1
定理 2：在定理 1 的条件下，具有各阶导数，且
f (n) (z) n!
2 i
C
(
f ( ) z)n1