§ 3.4 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高 阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数 在这区间上是否连续也不一定,更不要说它 有高阶导数存在了.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶
(n)(z)
n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
)
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.
C
f (z) dz 2 i
(z z0 )n1
n!
f (n) (z0 )
例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r >
1.
c osz
ez
1)
C
(z
1)5
C
f (z) (z z0 )2
d
z
再利用同样的方法去求极限:
lim f (z0 Δ z) f (z0 )
Δ z0
Δz
便可得
f
(z0 )
2! 2πi
C
f (z) (z z0 )3
d
z
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
f (n) (z0 )
n! 2πi
C
(
z
f
(z) z0 )n1
d
z
(f
f (z0
Δ z)
1 2πi
C
f (z)
z z0 Δ z d z
f (z0 Δ z) f (z0 ) 1
f (z)
dz
Δz
2 π i C (z z0 )(z z0 Δ z)
因此
1
2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz
f (z0
Δ z) Δz
f (z0 )
1 2πi
导数为:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f (z) z0 )n1
d
z
(n 1, 2,
)
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任 何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形,
即
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
|
1 d
,
d
z0
d
D
|
|
z z0 Δ z || z
1
2
z z0 Δ z | d
z0 ,
| |I
|Δ |
z | 1 2π
, 2 C |z
| Δ z || z0 |2|
f z
(z) | z0
d
s Δ
z
|
|
Δ
z
|
ML πd3
这就证得了当 Dz0时, I0.
这就证得了
f
(z0 )
1 2πi
1
2
| Δ z || f (z) | d s C | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) |
M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则d/2,因此
C
|
z
z0
|
d,
|
z
1 z0
C
f (z) (z z0 )2
d
z
1 2πi
C
(z
f (z) z0 )(z z0
Δ
z)
d
z
1
Δ zf (z)
dzI
2 π i C (z z0 )2 (z z0 Δ z)
现要证当Dz0时I0, 而
| I | 1 2 π
C
Δ zf (z) d z (z z0 )2 (z z0 Δ z)
d
z
按定义
f (z0 )
lim
Δ z0
f
( z0
Δ z) Δz
f
(z0 ) ,
因此就是要证
1
f (z) d z f (z0 Δ z) f (z0 )
2 π i C (z z0 )2
Δz
在Δ z 0时也趋向于零.
按柯西积分公式有
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) z z0
d z.
C z
其中C: |ζ|=2,取
|z|≠2,计算
(1) f (3 5i); (2) f (1 i).
ez
2)
dz
C (z2 1)2
C1
C2
C1 CC12
C
C2
ez
ez
(z i)2 dz (z i)2 dz
C1 (z i) 2
C2 (z i)2
i
2
i
(
z
ez i)
2
z i
(z
ez i)2
zi
2 sin(1 )
4
例2 设 正向，
f (z) 3 2 6 5d ,
d
z;
2)
C
(z2
1) 2
d
z
cosz
[解] 1) 函数(z 1)5
在C内的z=1处不解析, 但c
osz在C内却是处处解析的. 由高阶导数公式，
| C
cosz
(z 1)5
dz
2i (cosz)(4)
(5 1)!
5i .
z 1
12
由多连通域Cauchy和高阶 导数Cauchy公式，可解：