2-16 已知 f1 (t ) =
画出下列各卷积的波形。 （1） s1 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （2） s2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （3） s3 (t ) = f1 (t ) ∗ f 3 (t ) 。
2-17 求题图 2-17 所示电路在 e(t ) = (1 + 2e
第二章
连续时间系统的时域分析
2-1 电路如题图 2-1 所示，列写求 vo (t ) 的微分 方程。
L1 1H R1 2Ω + e(t) i 1 (t )
R2 1Ω + L2 2H 题图 2-1
C
1F
i 2 (t )
vo(t)
2-2 电路如题图 2-2 所示， 列写求 i2 (t ) 的微分方 程。
题图 2-18
−2 t
− 1)U (t ) ， 试利用卷积的性质求题
1 0 -1
e2(t)=tU(t) 1 t 0
e3(t)
t 0 1
2-19 一线性时不变的连续时间系统，其初始状态一定，当输入 e1 (t ) = δ (t ) 时，其全响应
r1 (t ) = −3e − tU (t ) ； 当 输 入 e2 (t ) = U (t ) 时 ， 其 全 响 应 r2 (t ) = (1 − 5e − t )U (t ) 。 求 当 输 入 e(t ) = tU (t ) 时的全响应。
2-14 计算卷积 f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，其中 f1 (t ) = sgn(t − 1) ， f 2 (t ) = e 2-15 求下列卷积 （1） f1 (t ) = e
−αt
− ( t +1)
U (t + 1) 。
U (t ) ∗ sin(t )U (t ) ；
2-8 电路如题图 2-8 所示， e(t ) 为激励， v(t ) 为响应，求传输算子 H ( p ) ，冲激响应 h(t ) 和
R1
阶跃响应 g (t ) 。
R2 10Ω + v(t) 2H L
+ e(t)
-
20Ω
+
-
0.5v(t)
题图 2-8
2-9 题 图 2-9-1 所 示 电 路 中 ， L1 = L2 = M = 1H ，
（2）
（3）
2-4 已知系统的传输算子 H ( p ) 及 0 + 状态条件，求系统的自然频率和零输入响应。 （1） H ( p ) =
p+3 ， r (0 + ) = 2 ， r ′(0 + ) = 1 ； p + 3p + 2
2
（2） H ( p ) =
p+3 ， r (0 + ) = 1 ， r ′(0 + ) = 2 。 p + 2p + 2
R1 20Ω + e(t) i 1 (t ) i (t ) L1 0.5H
题图 2-2
R3 10Ω R2 30Ω i 2 (t )
-
+
10i(t)
L2 1H
2-3 已知系统方程及对应的 0 + 状态条件， 求系统 的零输入响应。 （1）
d2 d r (t ) + 3 r (t ) + 2r (t ) = 3e(t ) ， r (0 + ) = 4 ， r ′(0 + ) = −5 ； 2 dt dt d2 d r (t ) + 2 r (t ) + 5r (t ) = e(t ) ， r (0 + ) = 1 ， r ′(0 + ) = 1 ； 2 dt dt d3 d2 d d r ( t ) + 2 r (t ) + r (t ) = e(t ) + 3e(t ) ， r (0 + ) = r ′(0 + ) = 0 ， r ′′(0 + ) = 1 。 3 2 dt dt dt dt
（2）
（3）
（4）
2-11 设 H ( p ) 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明：
[ H ( p )δ (t )]e − βt = H ( p + β )δ (t )
2-12 求下列函数 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 的卷积 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 。 （1） f1 (t ) = U (t ) ， f 2 (t ) = e U (t ) ； （2） f1 (t ) = U (t + 2) ， f 2 (t ) = e
e(t ) = x(t )[U (t ) − U (t − 2)] + βδ (t − 2)
式中 x(t ) 为任意 t 函数，若要求系统在 t > 2 的响应为零，试确定 β 值应等于多少。
2-22 设 线 性 时 不 变 系 统 在 零 状 态 条 件 下 ， 当 输 入 为 e(t ) 时 ， 输 出 为
−2 ( t − 2 ) −2 t
U (t − 2) ；
（3） f1 (t ) = sin(5t +
π
6
) ， f 2 (t ) = δ (t − 1) 。
2-13 求下列卷积，并注意相互间的区别。 （1） f a (t ) = A[U (t + 1) − U (t − 1)] ，求 f1 (t ) = f a (t ) ∗ f a (t ) ； （2） f b (t ) = A[U (t ) − U (t − 2)] ，求 f 2 (t ) = f a (t ) ∗ f b (t ) ； （3） f c (t ) = A[U (t ) − U (t − 1)] ，求 f 3 (t ) = f b (t ) ∗ f c (t ) ；
（2） f 2 (t ) = sin( 2πt )[U (t ) − U (t − 1)] ∗ U (t ) ； （3） f 3 (t ) = f a (t ) ∗ f b (t ) ，其中 f a (t ) =
∑ [U (t − 3k ) − U (t − 2 − 3k )] ，
k =0
∞
f b (t ) = sin(πt )U (t ) 。 2− | t | , | t |≤ 2 ， f 2 (t ) = δ (t + 5) + δ (t − 5) ， f 3 (t ) = δ (t + 1) + δ (t − 1) ， , | t |> 2 0
2-24 画出 f (t ) =
∫
t
0−
δ [sin(πt )]dt 的波形图。 π π
2-25 求 f (t ) = [U (t +
) − U (t − )] ∗ {cos(t ) ⋅ δ [sin(t )]} ，并画出结果的波形。 2 2
−3t
)U (t )
+ e(t)
-
R1 1Ω
C

1
R2 2Ω
L
2
+ 1H vo(t)
-
激励下的零状态响应 vo (t ) ， 并指出其中的强迫响应 分量与自由响应分量、稳态响应分量与瞬态响应分 量。
2F
0
题图 2-17
2-18 已知某线性时不变系统的单位阶跃响应 g (t ) = ( 2e 图 2-18 所示波形信号激励下的零状态响应。 e1(t) 2 t 1 0 0 2 3 0 1 2
r (t ) = sin(πt )
画出波形图。 2 1 0
,0 ≤ t ≤ 2 ，其波形如题图 2-22-1 所示。试确定该系统的阶跃响应 g (t ) ，并
e(t) 1 t 0 1 2 3
题图 2-22-1
r(t)
0 0 1 2
t
2-23 化简下列两式 （1） δ ( 2t − ) ；
2
1 2
（2） δ [sin(t )] 。
d2 d d （3） 2 r (t ) + 3 r (t ) + 2r (t ) = e(t ) + 3e(t ) ，r (0 − ) = 1 ，r ′(0 − ) = 2 ，e(t ) = e −3tU (t ) 。 dt dt dt
试判断在起始点是否发生跳变，并求 0 + 状态之值。 “1” 且已达稳态，t = 0 时刻开关自 “1” 转至 “2” ： 2-6 题图 2-6 所示电路，t < 0 时开关位于 （1）试从物理概念判断 vC (t ) 、 i (t ) 在 t = 0 时刻是否会发生跳变？ （2）分别写出 t ≥ 0 + 时间内描述响应 vC (t ) 、 i (t ) 的微 分方程，并求 vC (t ) 、 i (t ) 的完全响应；
d r (t ) + 3r (t ) = e(t ) ； dt d2 r (t ) + 4r (t ) = 2e(t ) ； dt 2 d2 d d3 d2 r t r t r t e t ( ) + 3 ( ) + 2 ( ) = ( ) + 4 e(t ) − 5e(t ) ； dt 2 dt dt 3 dt 2 d2 d d r (t ) + 2 r (t ) + r (t ) = 2 e(t ) + 3e(t ) 。 2 dt dt dt
2 S 1 + +
10V 20V
i (t ) R 2Ω + vC(t) 0.25F C
（3）写出可在 − ∞ < t < ∞ 时间内描述 vC (t ) 、i (t ) 的方 程式，然后利用冲激函数匹配原理判断从 0 − 到 0 + 状态的变化，并与（1）的结果比较。 2-7 系统微分方程、 0 − 状态及激励信号如下：