（Ⅱ）当 PD= 2AB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。
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21、已知抛物线 C ： x2 = 2 py( p 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离为 17 。 4
（I）求 p 与 m 的值； （II）设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t 0) ，过 P 的直线交 C 于另一点 Q ，交 x 轴于点
sinAsinC= 3 . 4
又由 b2 =ac 及正弦定理得 sin2 B = sin Asin C,
故 sin2 B = 3 ， 4
于是 又由
sin B = 3 或 sin B = − 3 （舍去），
2
2
π B=
或
B= 2π.
3
3
b2 = ac 知 b a 或 b c
所 以 B =π。 3
18、解：(1) f '(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3(x −1)(x − 2) ,
5、已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现
需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3 次才取得卡口
灯炮的概率为(
)
21
17
3
7
A． 4 0
B． 4 0
C． 1 0
D． 1 2 0
6、已知 f (x)＝ 1− x ，当θ∈( 5 π， 3 π)时，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化简为(
xf (x +1) = (1+ x) f (x) ，则 f (5) 的值是( 2
A. 0
B. 1 C. 1 2
二、填空题：
) D. 5 2
11、一条光线从点(5，3)射入，与 x 轴正方向成α角，遇 x 轴后反射，若 tanα＝3，则反射光 线所在直线方程是______________．
12、已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q 是 x 轴上动点，QA、QB 分别切⊙M 于 A、B 两点，则直 线 AB 恒过定点______________．
21、解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： y = − p ，根据抛物线定义 2
点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4 + p = 17 ，解得 p = 1
24
2
抛物线方程为： x2 = y ，将 A(m,4) 代入抛物线方程，解得 m = 2
（Ⅱ）由题意知，过点 P(t,t 2 ) 的直线 PQ斜率存在且不为 0，设其为 k 。
18、设函数 f (x) = x3 − 9 x2 + 6x − a 。 2
（1）对于任意实数 x ， f (x) m 恒成立，求 m 的最大值；
（2）若方程 f (x) = 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围。
2 0 0 9 0 4
20、如图，四棱锥 P−ABCD的底面是正方形2 ， PD⊥底 面 ABCD，点 E 在棱 PB 上。 （Ⅰ）求证：平面 AEC⊥平 面 PD B； 3
)
4
2
A．2sinθ
B．－2cosθ C．2cosθ D．－2sinθ
7、已知双曲线
x2 2
−
y2 b2
= 1(b 0) 的左、右焦点分别是 F1、 F2 ，其一条渐近线方程为 y =
x ，点
P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 ＝(
)
A. －12
B. －2
C. 0
D. 4
8、在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点， ABC =90°， BA = BC , 球心 O 到平面 ABC 的距离
M ，过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N 。若 MN 是 C 的切线，求 t 的最小值。
2 0 0 9 0 4 2 3
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2012高考数学模拟试卷答案（一）
一、选择题
1、D 2、B 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、D
二、填空题
11、 y=−3x+12 12、 0 ，3
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2012 高考数学模拟试卷(一)
一、选择题：
1、设 a ＝(2，－3)， b ＝(－4，3)， c ＝(5，6)，则( a ＋3 b )· c 等于(
)
A．(－50，36) B．－12
C．0
D．－14
1
a
2、“a＝ 8 ”是“对任意的正数 x，2x＋ x ≥1”的(
)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
三、解答题：
1 (n = 1)
13、
n
!
2
(n 2)
14、2+ 3
15、 1
4
16、解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A
岗位服务为事件 E
A
，那么
P(EA)
=
A33 C52A44
=1， 40
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 ． 40
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E
n 2, an = Sn − Sn−1 = kn2 + n − [k(n −1)2 + (n −1)] = 2kn − k + 1（ ）
经验， n = 1, （ ）式成立，
an = 2kn − k +1
（Ⅱ） am , a2m , a4m 成等比数列，
a2m2 = am .a4m ，
即 (4km − k +1)2 = (2km − k +1)(8km − k +1) ，
=
(k 2 − kt + 1)2 k(t 2 − k 2 −1)
k
k
而抛物线在点
N
处切线斜率： k切
=
y
x=− k (k −t )+1 k
=
− 2k(k − t) − 2 k
MN
是抛物线的切线，
(k 2 − kt k(t 2 − k
+ 1)2 2 −1)
=
− 2k(k − t) − 2 ， k
整理得 k 2 + tk +1− 2t 2
15、若直角三角形的周长为 2 +1．则它的最大面积为_______________．
三、解答题：
16、甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有 一名志愿者。 （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。
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则 lPQ
:
y
−t2
=
k(x
− t) ，当
y
=
0,
x
=
−t2 + k
kt ,
则 M ( − t 2 + kt ,0) 。 k
联立方程
y
−
t2 = k(x x2 = y
−
t ) ，整理得：
x2
−
kx
+
t(k
−
t)
=
0
即： (x − t)[x − (k − t)] = 0，解得 x = t, 或 x = k − t
[kx+ k(k − t) +1][x − (k − t)] = 0，解得： x = − k(k − t) +1 ，或 x = k − t k
[k(k − t) + 1]2
N
(−
k(k
− t) k
+1
,
[k(k
− t) k2
+
1]2
)
，
K
NM
=
k2 − k(k − t) +1 − − t 2
+ kt
，那么
P(E)
=
A44 C52 A44
=1， 10
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P(E)=1−P(E)= 9 10
17、解：由 cos（A −C）+cosB= 3 及 B=π −（A+C）得 2
cos（A −C） −cos（A+C）= 3 ， 2
cosAcosC+sinAsinC −（cosAcosC −sinAsinC）= 3 , 2
3、曲线 y＝x3－x2＋4 在点(2，8)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(
)
A．1
B．2
C．4
D．8
4、关于
x
的不等式 ax+b0的解集为{x | x
1} ，则关于
x
的不等式
ax − b x−2
0
的解集为(
)
A． {x|1x2}
B．{x|x−1,或 x2} C．{x|−1x2} D．{x | x 2}
是 3 2 ，则 B、C 两点的球面距离是(
)
2
A. 3
B.
4 C. 3
D.2
9、2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女
生相邻，则不同排法的种数是(
)
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
10、已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有
=0
= t2
− 4(1 − 2t 2 ) 0 ，解得 t
− 2 （舍去），或 t 3
2 3
，
t min
=
2 3Βιβλιοθήκη 所以 当 x =1 时, f (x) 取极大值 f (1) = 5 − a 。 2