2014．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：柱体的体积公式：=V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是高； 球的体积公式：34=3V R π球，球的表面积公式：2=4S R π球，其中R 是球的半径； 样本数据12x x ,，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是 ▲ ．2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为3， 2Read If 0Then()2Else()log (1)End If Print()xxx f x f x x f x ≤←←+则输出值()f x = ▲ ．3．函数()sin xf x e x =的导数()f x '= ▲ ．4．先后抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6）两次，骰子朝上的面的点数依次记为a 和b ，则双曲线22221x y a b-=为等轴双曲线的概率为 ▲ ．5．右边程序输出的结果是 ▲ ．6．恒大足球队主力阵容、替补阵容各有4名编号为1,2,3,4的球员进行足球点球练习，每人点球5次，射中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的方差2S = ▲ ．1For From 1 To 5 Step 2 End For Print S I S S I S←←+2013—2014学年度第一学期高二数学期末试卷7．下列有关命题的说法中，错误．．的是 ▲ (填所有错误答案的序号)． ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件； ③若p q 且为假命题，则p 、q 均为假命题．8．已知抛物线x y 82=的焦点是双曲线)0(13222>=-a y a x 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．9．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ 2m ．10．奇函数32()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ． 11．若,,l m n 是三条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)． ①若//,,,l n αβαβ⊂⊂则//l n ； ②若,,l αβα⊥⊂则l β⊥； ③若,,l n m n ⊥⊥则//l m ； ④若,//,l l αβ⊥则αβ⊥．12．设集合{,1},{,1,2},,{1,2,3,4,5,6,7}P x Q y x y ==∈，且P Q ⊆，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，若该点落在圆2222()x y R R Z +=∈ 内的概率为25，则满足要求的2R 的最小值为 ▲ ． 13．如图平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆的左、右两个顶点， 圆1A 的半径为a ，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ， 在x 轴的上方交椭圆于点Q ．则2PQQA = ▲ ． 14．设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0x π<<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）根据我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定》（试行），AQI 共分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200为中度污染，[200,250),[250,300)均为重度污染，300及以上为严重污染．某市2013年11月份30天的AQI 的频率分布直方图如图所示：⑴该市11月份环境空气质量优或良的共有多少天？⑵若采用分层抽样方法从30天中抽取10天进行市民户外晨练人数调查，则中度污染被抽到的天数共有多少天？⑶空气质量指数低于150时市民适宜户外晨练，若市民王先生决定某天早晨进行户外晨练，则他当天适宜户外晨练的概率是多少？ 16．（本小题满分14分）已知命题22:114x y p m m +=--表示双曲线，命题22:124x y q m m +=--表示椭圆． ⑴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．⑵判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．17．（本小题满分15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点. ⑴若点D 是BC 的中点，求证:1//AC 平面1AB D ； ⑵若平面1AB D ⊥平面11BCC B ，求证:AD BC ⊥.18．（本小题满分15分）如图，储油灌的表面积S 为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．⑴试用半径r 表示出储油灌的容积V ，并写出r 的范围．⑵当圆柱高h 与半径r 的比为多少时，储油灌的容积V 最大？19．（本小题满分16分）如图，椭圆1C 与椭圆2C 中心在原点，焦点均在x 轴上，且离心率相同．椭圆1C 的长轴长为且椭圆1C 的左准线:2l x =-被椭圆2C 截得的线段ST 长为P 是椭圆2C 上的一个动点．⑴求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；⑵设点1A 为椭圆1C 的左顶点，点1B 为椭圆1C 的下顶点，若直线OP 刚好平分11A B ，求点P 的坐标；⑶若点,M N 在椭圆1C 上，点,,P M N 满足2OP OM ON =+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数x x g bx ax x f ln )(,)(2=+=．⑴当0=a 时，①若)(x f 的图象与)(x g 的图象相切于点00(,)P x y ，求0x 及b 的值；②()()f x g x =在],1[m 上有解，求b 的范围；⑵当1-=b 时，若)()(x g x f ≥在1[,]n e上恒成立，求a 的取值范围．2013—2014学年度第一学期高二数学期末试卷参 考 答 案2014．1一、填空题1．20,0x x x ∃>+≤ 2．2 3．sin cos x xe x e x + 4．61 5．10 6．217．③ 8．x y 3±= 9．33 10．0 11．④ 12．30 13．34 14．(,0)(,)66πππ- 二、解答题15⑴由题意知该市11月份环境空气质量优或良的共有63050)002.0002.0(=⨯⨯+天； ……4分⑵中度污染被抽到的天数共有31050006.0=⨯⨯天； ……9分 ⑶设“市民王先生当天适宜户外晨练”为事件A ，则6.050)008.0002.0002.0()(=⨯++=A P . ……14分16⑴ 命题22:114x y p m m +=--表示双曲线为真命题，则(1)(4)0m m --<， ……3分 ∴14m <<； ……5分⑵ 命题22:124x y q m m +=--表示椭圆为真命题，204024m m m m->⎧⎪∴->⎨⎪-≠-⎩， ……8分 ∴23m <<或34m <<， ……10分{|14}m m <<{|23m m ⊇<<或34}m <<∴p 是q 的必要不充分条件. ……14分17⑴连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点, ……2分连接DE ,由D 是BC 的中点,得1//DE AC ， ……4分 又1DE AB D ⊂面,且11AC AB D ⊄面, 所以1//AC 平面1AB D ……7分FE⑵在平面11BCC B 中过B 作1BF B D ⊥，因平面1AB D ⊥平面11BCC B ， 又平面1AB D平面111BCC B B D =，所以BF ⊥平面1AB D ， ……10分所以BF AD ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥， ……12分 又1BB BF B =，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD BC ⊥. ……15分18⑴2222232S r rh r r rh πππππ=++=+，232S r h rππ-∴=， ……3分3223V r r h ππ∴=+35(026rS r r π=-<<； ……7分⑵2522S V r π'=-，令0V '=，得5r π=，列表……11分∴当r=时，体积V 取得最大值，此时h =:1:1h r ∴=. ……13分 答：储油灌容积35(0263rS V r r ππ=-<<，当:1:1h r =时容积V 取得最大值. …15分 19⑴设椭圆1C 方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，椭圆2C 方程为222222221(0)x y a b a b +=>>，则12a =1a =2112a x c =-=-，∴11c =，则11b =∴椭圆1C 方程为2212xy +=，其离心率为1e =， ……3分 ∴椭圆2C 中22222a b =，由线段的ST长为(S -,代入椭圆2C 22224312b b +=，得225b =，∴2210a =，椭圆2C 方程为221105x y +=； ……6分⑵11((0,1)A B -，则11A B中点为1()22--，∴直线OP为2y x =， ……7分由2211052x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴点P的坐标为； ……10分 ⑶设00(,)P x y ，1122(,),(,)M x y N x y ，则2200210x y +=，2222112222,22x y x y +=+=，由题意001122(,)(,)2(,)x y x y x y =+，∴01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ ……12分∴22222222001212112211222(2)2(2)44288x y x x y y x x x x y y y y +=+++=+++++ 2222112212121212(2)4(2)6(2)106(2)10x y x y x x y y x x y y =+++++=++=……14分∴121220x x y y +=，∴121212y y x x =-，即12OM ON k k ⋅=-，∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12-． ……16分20⑴bx x f a =∴=)(0①1(),()f x b g x x ''==000011,,ln b x x e b ebx x ⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩， ……3分②x x b x x bx x g x f ln )0(ln )()(=∴>=∴= 即b y =与xxx h ln )(=在],1[m 上有交点…4分 2'ln 1)(x x x h -= ，e m ≤∴时)(x h 在],1[m 上递增，]ln ,0[)(mmx h ∈； e m >时)(x h 在],1[e 上递增，在],[m e 上递减且0)(>x h ，]1,0[)(ex h ∈ ……7分e m ≤∴时，]ln ,0[mmb ∈；e m >时，]1,0[e b ∈ ……8分⑵)()()(12x g x f x ax x f b ≥∴-=∴-= 即x x ax ln 2≥-，即2ln x x x a +≥在1[,]n e 上恒成立， ……9分 令2ln )(x x x x r +=，3ln 21)('x xx x r --=∴令()12ln s x x x =--，则()s x 为单调减函数，且(1)0s =， ……12分 ∴当(0,1)x ∈时，'()0r x >，()r x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0r x <，()r x 单调递减， ……13分 若1n ≤，则()r x 在1[,]n e上单调递增，∴2ln ()()max n n r x r n n +==，∴2ln n na n+≥； 若1n >，则()r x 在1[,1]e上单调递增，[1,]n 单调递减，∴()(1)1max r x r ==，∴1a ≥ ……15分 ∴1n ≤时，2ln n na n+≥；1n >时，1a ≥． ……16分。