【最新】江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．抛物线的焦点坐标为_________.2．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为_______ 3．已知无论取任何实数，直线必经过一定点，则该定点坐标为_______．4．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 的长为a =_____.5．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 cm. 6．如果规定：，则叫做关于相等关系具有传递性，那么空间三直线 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是__________. 7．双曲线的一条渐近线方程为，则_____.8．已知椭圆上一点P 到左焦点的距离为,则它到右准线的距离为_________.9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号） 10．椭圆,为椭圆的两个焦点且到直线的距离之和为，则离心率=_______.11．若点在曲线上，则OA OB ⋅的最小值为_______.12．已知过点作直线与圆：交于两点，且为线段的中点,则的取值范围为__________.13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）_________.二、单选题14．以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．三、解答题15．（本小题满分14分）已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=.问m 为何值时，有：（1）12l l ？（2）12l l ⊥？16．如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ； （2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面，且1AB BC CA AD CD =====．（1）求证：1BD AA⊥;（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面11DDCC，求BEEC的值．18．（本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+yx，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、)764,0(M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D．观测点)0,4(A,)0,6(B同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19．（本小题满分16分）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxC,设斜率为k的直线l交椭圆C于BA,两点，AB的中点为M，证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上. （3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.AD1 CA1B1BCD20．（本小题满分16分）在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为)1,0(),1,0(B A -，平面内两点M G ,同时满足：)1(G 为ABC ∆的重心；M )2(到ABC ∆三点C B A ,,的距离相等；)3(直线GM 的倾斜角为2π. （1）求证：顶点C 在定椭圆E 上，并求椭圆E 的方程；（2）设N R Q P ,,,都在曲线E 上，点)0,2(F ，直线RN PQ 与都过点F 并且相互垂直，求四边形PRQN 的面积S 的最大值和最小值.参考答案1．【解析】试题分析：先确定焦点位置，即抛物线28y x =是焦点在x 轴正半轴的标准方程，再求出2p =，可得到焦点坐标.考点：抛物线的焦点坐标. 2．280x y -+= 【解析】令所求直线斜率为k ,两直线垂直,斜率乘积为1-,则21k -=- ,所以12k =,又经过点()3,0B ,由直线方程的点斜式可得()132y x =-,可化为一般式230x y --=.故本题应填230x y --=.点睛:两条直线垂直的条件是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的,在此条件下12121l l k k ⊥⇔=- ;一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率等于0,则两直线也垂直;两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的前提下得出的,在此前提下有1212//l l k k ⇔= ;若两条直线的斜率都不存在,且两直线不重合,则两直线也平行.考点:直线的方程,两直线间的关系 3．(2,2) 【解析】试题分析：将直线方程整理得22(4314)0x y k x y -+++-=，于是220{43140x y x y -+=+-=，解得22x y =⎧⎨=⎩，故直线必经过定点(2,2).考点：恒过定点的直线. 4．0 【分析】由已知可得圆心(1,2)到弦的距离为1，利用点到直线的距离公式可得a 的值. 【详解】解：由直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 的长为可得圆心(1,2)到弦的距离为1，1,0a ==，故答案：0 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质及点到直线的距离公式，相对简单. 5．4 【解析】试题分析：设球半径为r ，则由3=V V V +球水柱可得32243863r r r r πππ⨯+⨯=⨯，解得4r =.考点：组合几何体的体积问题. 6．平行 【解析】试题分析：由平行公理知直线的平行具有传递性，相交，异面，垂直和共面都不具有传递性. 考点：类比推理. 7．23【解析】试题分析：由双曲线可得渐近线方程为1m y x m+=±，而题设 双曲线的一条渐近线方程为，∴22m m+=即23m =. 考点：双曲线的渐进性方程. 8．3 【解析】试题分析：设点P 到右准线的距离为d ，由椭圆的第一定义知，点P 到右焦点的距离等于53422-=，离心率12e =，再根据椭圆的第二定义得3122e d ==，解得3d =.∴点P 到右准线的距离为3. 考点：椭圆的定义. 9．（1）（2） 【详解】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．直线与平面垂直必须直线与平面内两条相交直线垂直，所以（3）（4）都不正确. 10【解析】 试题分析：直线可化为：0bx ay ab +-=，由椭圆得，两焦点1(,0)F c -，2(,0)F c ，∴12,F F 到直线0bx ay ab +-=的距离之和==，化简得3ab ，∴c e a ====. 考点：（1）椭圆离心率的求法；（2）点到直线的距离公式. 11．2 【解析】试题分析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，120,0,x x >>且122x x ≥.12121212OA OB x x y y x x x x ⋅=+==1212121222x x x x x x x x ≥==--=∴OA OB ⋅的最小值为2考点：（1）双曲线的简单性质；（2）平面向量的数量积运算；（3）利用基本不等式求最值.12．【解析】试题分析：∵A 是PB 的中点，圆221x y +=的直径是2，∴2PA ≤,∴点P 到原点距离小于等于3， ∴249m +≤，∴.考点：直线和圆的位置关系. 13．17【解析】试题分析：由题意，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，则tan y x a α=+，tan yx aβ=-，∴222tan tan y y y x a x a x a αβ=⋅=+--，∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率，∴22214a b a -=，∴2243a b =，∴2222143x y b b +=，∴22234x y b =-，22234y x a =--， 3tan tan 4αβ=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 14=3cos+cos cos sin sin 1tan tan 714αβαβαβαβαβαβαβαβ--++===--+（） 考点：（1）椭圆的简单性质；（2）两角和与差的余弦函数. 14．A 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为，即x 2+y 2-2x=015．（1）当25-=m 时，12l l ；（2）当1m =-或92m =-时，12l l ⊥.【解析】试题分析：（1）两直线1110a x b y c ++=与2220a x b y c ++=平行⇔111222a b c a b c =≠222(0,0,0)a b c ≠≠≠；（2）两直线1110a x b y c ++=与2220a x b y c ++=垂直⇔12210a b a b +=.试题解析：解：由(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m=4时，l 1：6x+7y-5=0，l 2：6x+7y=5,即l 1与l 2重合，故舍去。

当25-=m 时，,566:,052121:21=-=-+-y x l y x l 即12l l ∴当25-=m 时，12l l .（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥.考点：（1）直线的一般式方程与直线的平行关系；（2）直线的一般式方程与直线的垂直关系. 16．（1）详证见解析；（2）详证见解析. 【解析】 【分析】（ 1）可通过连接BD AC 、交于O ，通过中位线证明PB 和OE 平行得证//PB 平面AEC ． （ 2）可通过正方形得证AD CD ⊥，通过PA ⊥平面ABCD 得证CD PA ⊥，然后通过线面垂直得证面面垂直． 【详解】（ 1）证明： 连BD AC 、交于O, 因为四边形ABCD 是正方形 , 所以1AO OC OC AC 2==， , 连EO ，则EO 是三角形PBD 的中位线, EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC所以PB 平面AEC . （2）因为PA ⊥平面ABCD , 所以CD PA ⊥ ,因为ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥, PA AD A ⋂= 所以CD ⊥平面PAD , 所以平面PAD ⊥平面PCD . 【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证． 17．（1）详证见解析；（2）点E 为BC 中点，即1BEEC=.【解析】试题分析：（1）利用面面垂直的性质，证明BD ⊥平面11AAC C ，可得1BD AA ⊥； （2）点E 为BC 中点，即1BEEC=，再证明AE DC ，利用线面平行的判定，可得AE ∥平面11DCC D .试题解析：证明：（1）在四边形ABCD 中，因为BA=BC,DA=DC ，所以BD AC ⊥． 平面11AAC C ABCD ⊥平面，且11,,ACC A ABCD AC BD ABCD =⊂平面平面平面 所以1BD AA ⊥．(2)点E 为BC 中点，即1EC=, 下面给予证明：在三角形ABC 中，因为AB=AC ，却E 为BC 中点，所以AE BC ⊥, 又在四边形ABCD 中，,DA=DC=1，所以6030ACB ACD ∠=︒∠=︒， , 所以 DC BC ⊥ ，即平面ABCD 中有， AEDC ．因为1111,DC DCC D AE DCC D ⊂⊄平面平面,所以11DC AE C D 平面.考点：（1）面面垂直的性质；（2）线面平行的判定. 18．（1）曲线方程为764712+-=x y .（2）当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为4,52时，应向航天器发出变轨指令． 【解析】试题分析：（1）由题意变轨之后轨迹为开口向上的抛物线，所以利用待定系数法可以先设出方程，再利用条件建立未知数的方程进而求解；（2）由题意及图形可知变轨点C 实质为两圆锥曲线的交点，故联立两方程即可求解.试题解析：（1）设曲线方程为2647y ax =+，由题意可知，640647a =⋅+ 曲线方程为764712+-=x y .∴17a =-.∴曲线方程为764712+-=x y . (2)设变轨点为),(y x C ，根据题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+,76471,125100222x y y x 得036742=--y y ， 得494-==y y 或(舍去)，4=∴y ，66-==∴x x 或（舍去），)4,6(C ∴，52||=AC ，4||=BC .答：当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为4,52时，应向航天器发出变轨指令． 考点：（1）圆锥曲线的综合运用；（2）抛物线的标准方程.19．（1）14822=+y x ；（2）详证见解析；（3）作图步骤见解析. 【解析】试题分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标可求得c ，进而得到a 和b 的关系，把点(2,-代入椭圆方程，求得b，进而根据a =a ，椭圆的方程可得.（2）设直线l 的方程为y kx m =+且椭圆C 的交点11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线方程和椭圆方程联立进而可得12x x +和12y y +的表达式，进而可得AB 中点M 的坐标从而可判定AB 的中点M 在过原点的直线220b x a ky +=.（3）作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，并分别取AB 、CD 的中点M 、N ，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和1C 、1D ，并分别取11A B 、11C D 的中点1M 、1N ，连接直线11M N ，那么直线MN 和11M N 的交点O 即为椭圆中心. 试题解析：解：（1）设椭圆的标准方程为22221,(0)x y a b a b+=>>， ∴224a b =+，即椭圆的方程为222214x y b b +=+.∵点(2,-在椭圆上，∴224214b b+=+，解得24b =或22b =-（舍） 由此得28a =，即椭圆的标准方程为22184x y +=. （2）设直线l 的方程为m kx y +=与椭圆C 的交点为),(),,(2211y x B y x A ，则联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax m kx y ，得02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，,0>∆ ,2222k a b m +<∴即222222k a b m k a b +<<+-.则2222212k a b km a x x +-=+， 2222212k a b m b y y +=+，AB ∴中点M 的坐标为),(22222222k a b m b k a b km a ++-。