江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中考试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是 ． 2. 直线1y x =+的倾斜角是________．3.若方程22152x y a +=-表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 .4．命题“若b a >，则22b a >”的逆命题是 .5.与椭圆22194x y +=5的椭圆标准方程为 ．6.如果对任何实数k ，直线(3)(12)150k x k y k ++-++=都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________.7. 如果:2p x >，:3q x >，那么p 是q 的 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）8.已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是8，则M 到右准线的距离为 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a -=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ．10．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 11．圆心在抛物线212y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ．12. 已知21,F F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过2F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为,P 若22221||||c PF PF =-，则双曲线离心率的值为 .13. 已知直线),(12R b R a by ax ∈∈=+与圆1:22=+y x O (O 为坐标原点)相交于B A ,两点,且AOB ∆是直角三角形,点),(b a P 是以点)1,0(M 为圆心的圆M 上的一点,则圆M 的面积的最小值为 .14. 已知直线:34l y x =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上.当r 变化时，菱形ABCD 的面积S 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. 已知命题:p “关于,x y 的方程)(04522222R a a a y ax x ∈=+-++-表示圆”，命题:q “x R ∀∈,使得2(1)10()x a x a R +-+>∈恒成立”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.16．已知直线l 过点(2,1)P ,（1）点(1,3)A -和点(3,1)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 正半轴、y 正半轴分别交于A B 、两点，且ABO ∆的面积为4，求直线l 的方程．.17．如图，12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ∠=. （1）求椭圆C 的离心率； （2）若2a =,求1AF B ∆的面积．18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线22y x =的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．19．已知圆22:4O x y +=与x 轴负半轴的交点为A ,点P 在直线30l x y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T .（1）若8a =，切点(3,1)T -,求点P 的坐标； （2）若2PA PT =，求实数a 的取值范围;(3) 若不过原点O 的直线与圆O 交于C B ,两点,且满足直线OC BC OB ,,的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）2．A为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = ， （1）若点P 的坐标为(2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =，直线,OA OB 的斜率之积12-，求实数m 的值; （3）在（1）的条件下，是否存在定圆M ，使得过圆M 上任意一点T 都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆M ;若不存在,说明理由.yxCPOAB命题、校对:刘晓静 审核:沈红、姜卫东江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中高二数学答案一、填空题1. 2,10x R x x ∀∈--≥ 2.4π3. 7a >4. 充分不必要5.1202522=+y x6. (1,2)-7. 25 8．29.3 10.1)21()1(22=-+±y x11. 4 13. π)223(- 14. 33330,,6322⎛⎛ ⎝⎭⎝ 二、解答题 15. 解：（1）若命题p 为真，则22(2)4(254)0a a a整理得到2540a a -+<得14a（2）若命题q 为真，则2(1)40a ∆=--< 即2230aa --<得13a -<<若p q ∧为真，则1413a a <<⎧⎨-<<⎩，得13a <<所以，若p q ∧为真，则a 的取值范围是13a <<.16. 解：（1）若直线斜率不存在，即2x =，此时，点,A B 到直线l 的距离不相等. 故直线l 的斜率一定存在,设直线l 的方程为(2)1y k x =-+即210kx y k --+=由题意得:2211k k =++解之得:12k =-或1k =- 故所求直线方程为240x y +-=或30x y +-=(2)由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故1l 方程为142x y +=，即122y x =-+．17. 解:（1）由题意可知，1AF B ∆为等边三角形，2a c =，所以12e =.（2）由题意得：2,1a c ==,故3b =23),(1,0)A F ,所以直线AC 的方程为33y x =+联立直线AC 与椭圆C 的方程得:2233143y x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得:8533x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩舍) 所以点B 的坐标为833,5⎛ ⎝⎭,所以 11212121211113383||||||||2322222AF B AF F BF F B S S S F F AO F F y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=18. 解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A(2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0. 则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝12.故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6. (2) 由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5.又CF ＝1，则CD ＝6. 答：灯柱的高为6 m.19. 解：（1）由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点(3,1)T -，所以3OT k =，13PT OTk k =-= 故直线PT 的方程为13(3)y x +=-，340x y --=.联立直线l 和PT ，340,380,x y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得23,2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(23,2)P .（2）设(,)P x y ，由PA ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x +--=，即满足PA ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线30x y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以223833(3)1a d ⨯-=+，即2316|3a ≤，解得16231623a -++. (3)当直线BC 垂直与x 轴时，显然不成立，所以设直线BC 为(0)y kxb b =+≠，将它与圆方程联立并消去y 得222(1)240k x kbx b +++-=，设1122(,),(,)B x y C x y ，则212122242,11b kb x x x x k k --=+=++，因为2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222222424111b k b k b k b k k k --+=⋅-+=+++，故2221221244OB OC y y k b k k k x x b -+⋅===-， 即22(1)0b k -=，因为0b ≠，所以21k =，即1k =±. 20. 解：（1）因为2)P ,所以21,2A ⎛--⎝⎭． 代入椭圆方程，得221112a b +=，① 又椭圆的离心率为222221b a -=由①②，得222,1a b ==，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为2OP AO =，所以()112,2P x y --．因为BP mBC =，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--，即()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩于是32132112,12,mx x xm mmy y ym m-⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩．代入椭圆方程，得2221212212121m mx x y ym m m ma b--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，(3)存在定圆M223x y+=在定圆M上任取一点00(,)T x y,其中2x≠±设过点00(,)T x y的椭圆的切线方程为00()y y k x x-=-即00y kx kx y=-+,将其与椭圆方程2212xy+=联立得:2220000(12)4()2()20k x k kx y x kx y+--++-+-=2222000016()8(12)[()1]0k kx y k kx y∆=-+-+-+-=整理得:2220000(2)210x k x y k y-++-=故过点00(,)T x y的椭圆的两条切线斜率12,k k分别是2220000(2)210x k x y k y-++-=的两解.故2220001222200011(3)21222y x xk kx x x----====----,所以两条切线垂直.当02x=±,显然存在两条互相垂直的切线.。