t
t + s 2
s
①
②
③
④
二次函数求最值参数分类讨论的方法
分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．
一般地,对于二次函数 y=a (x m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏， 可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值
例１、求函数 f (x ) = x 2 - 2ax + 3 在 x ∈[0, 4] 上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解： f (x ) = x 2 - 2ax + 3 = (x - a )2 + 3 - a 2
∴此函数图像开口向上，对称轴 x=a
①、当 a ＜0 时，0 距对称轴 x=a 最近，4 距对称轴 x=a 最远， ∴x=0 时， y min =3，x=4 时， y max =19-8a
②、当 0≤a＜2 时，a 距对称轴 x=a 最近，4 距对称轴 x=a 最远， ∴x=a 时， y min =3-a2，x=4 时， y max =19-8a
③、当 2≤a＜4 时，a 距对称轴 x=a 最近，0 距对称轴 x=a 最远， ∴x=a 时， y min =3-a2，x=0 时， y max =3
④、当 4≤a 时，4 距对称轴 x=a 最近，0 距对称轴 x=a 最远， ∴x=4 时， y min =19-8a ，x=0 时， y max =3
例 2、已知函数 f (x ) = ax 2 + (2a -1)x - 3 在区间[- 3
, 2] 上最大值为 1,求实数 a 的值
2
分析:取 a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分
类讨论.
解:1)若 a=0,则 f(x)=-x-3,而 f(x)在[-
2
3 , 2] 上取不到最大值为 1,∴a≠0
2
1- 2a
2)若 a≠0,则 f (x ) = ax + (2a -1)x - 3 的对称轴为 x 0 = 2a
3 10 23 3
(Ⅰ)若 f (- ) = 1，解得 a = - 2 3
23
，此时 x 0 = - 20 ∈[- 2 , 2]
a<0, f (x 0 ) 为最大值，但 f (- 20) ≠ 1
3 1 3
(Ⅱ) 若 f (2) = 1解得 a = 4 此时 x 0 = - 3 ∈[- 2
, 2]
a = 3 > 0, x = - 1
距右端点 2 较远， f (2) 最大值符合条件
4 0
3
(Ⅲ) 若 f (x 0 ) = 1 解得 a =
-3 ± 2 2
2
当 a = -3 + 2 2 2 < 0 时 x 0 = -2 - 4 ∉[- 3 , 2] 2
当 a = -3 - 2 2 2 < 0 时 x 0 = 2 - 4 ∈[- 3 , 2] 2
综收所述 a =
3 或 a =
4
2
评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称
轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值
例 3．求函数 f (x ) = x 2 - 2x + 3 在 x∈［a,a+2］上的最值。

解： f (x ) = x 2 - 2x + 3 = (x -1)2 + 2
∴此函数图像开口向上，对称轴 x=1
①当 a ＞1 时，a 距对称轴 x=1 最近，a+2 距 x=1 最远， ∴当 x=a 时， y min =- a ２
+3 ,x=a+2 时， y max = a
２ +2a+3
②当 0＜a≤1 时，1 距对称轴 x=1 最近，a+2 距离 x=1 最远， ∴当 x=1 时， y min =2 ,x=a+2 时， y max = a
２ +2a+3
③当-1＜a≤0 时，1 距对称轴 x=1 最近，a 距 x=1 最远， ∴当 x=1 时， y min =2 ,x=a 时， y max =a ２-2a+3
2
2 -
3 - 2 2
min
④当 a≤-1 时，a+2 距对称轴 x=1 最近，a 距 x=1 最远，
∴当 x=a+2 时， y min = a
２ +2a+3 ,x=a 时， y
max
= a ２ -2a+3
题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值
例５、已知函数 f (x ) = 9x 2 - 6ax + a 2 -10a - 6 在[- 1
, b ]上恒大于或等于０，其中实数
3
a ∈[3, +∞) ,求实数
b 的范围．
a
1 a 1 a
分析：找出函数的对称轴： x = 结合区间[- 3 , b ]讨论 3 3 ≥ b 或- < < b 的情况
3 3
解：∵ f (x ) = 9(x - a )2 -10a - 6, x ∈[- 1
, b ]
3 3 若 a
≥ b 时，f(x)在[- 3 1 , b ]上是减函数 3
∴ y = f (b ) = 9(b - a )2 -10a - 6 即9(b - a
)2 -10a - 6 ≥0 则条件成立
min
3 3
令u = g (a ) = a 2 - (6b +10)a + 9b 2 - 6, a ∈[3, +∞) (Ⅰ)当 3b+5≤3 时.即b ≤ - 2
则函数 g(x)在
[3, +∞) 上是增函数
3
∴ u = g (3) = 9 -18b - 30 + 9b 2
- 6
即9b 2 -18b - 27 ≥ 0 解得 b≥3 或 b≤-1
2
∵ b ≤ - ,∴b≤-1
3
2
(Ⅱ)当 3b+5>3 即b > - 3 , u min = g (3b + 5) = -30b - 31
若-30b-31≥0 解得b ≤ - 31 30 与b > - 2
3
矛盾;
1 a a
(2)若- < < b 时, 3 3
3
y min = f ( ) = -10a - 6 即-10a-6≥0
3 解得 a ≤ - 综上述：b≤-1
与 a ∈[3, +∞) 矛盾;
5
评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．
二次函数分类讨论补充习题
1.已知函数f (x)=x2+ 2x + 2 ，若x ∈[a, a + 2], a ∈R ，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

2.已知函数f (x) =-x2+ 3 ，若f (x) ≤-2kx + 6 在区间[-1,2]上恒成立，求实数k 的取值范围。

3.已知k 为非零实数，求二次函数y =kx 2+ 2kx +1, x ∈(-∞, 2] 的最小值。

4.已知a ≤ 3 ，若函数f (x)=x2-2ax +1在[1,3]上的最大值为M (a)，最小值为m(a)，又已知函数g(a)=M (a)-m(a)，求g(a)的表达式。