第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、 三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Ldsy x f ),(表示此柱面的面积。

（2） （2） 第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

（3） （3） 第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。

实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。

（4） （4） 第二类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆+∆+∆∆++n i xyi i i i zx i i i i yz i iiiS R S Q S P Rdxdy Qdzdx Pdydz 1))(,,())(,,())(,,(lim ζηξζηξζηξλ（存在时）其中yz i S )(∆，zx i S )(∆，xy i S )(∆分别表示将∑任意分为n 块小曲面后第I 块i S ∆在yoz 面，zox 面，xoy 面上的投影，dydz ，dzdx ，dxdy 分别表示这三种投影元素; （i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。

实际意义：设变力),,(z y x V =P(x,y ，z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k 为通过曲面∑的流体（稳定流动且不可压缩）在∑上的点（x,y,z ）处的速度。

则⎰⎰⎰⎰∑∑++==ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d V表示在单位时间内从∑的一侧流向指定的另一侧的流量。

2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1） （1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面 （2） （2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性 （3） （3） 代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关⎰⎰-+-=+L LQdy Pdx Qdy Pdx⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰-∑++-Rdxdy Qdzdx Pdydz3、曲线（面）积分的计算（1） （1） 曲线积分的计算a 、 a 、 依据积分曲线L 的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b 、 b 、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2） （2） 曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a 将积分曲面∑投向使投影面积非零的坐标面b 将∑的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。

C 将ds 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素 2、 2、 第二类曲面积分的计算a 将积分曲面∑投向指定的坐标面b 同1c 依∑的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 （1） （1） 格林公式⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+DLdxdy yPx Q Qdy Pdx )(其中P 、Q 在闭区域D 上有一阶连续偏导数，L 是D 的正向边界曲线。

若闭区域D 为复连通闭区域，P 、Q 在D 上有一阶连续偏导数，则⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(=∑⎰=+ni L i Qdy Pdx 1 其中i L （=1，2……n ）均是D 的正向边界曲线。

（2） （2） 高斯公式⎰⎰++Rdxdy Qdzdx Pdydz =zRy P x Q ∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ω(）dxdydz 其中P 、Q 、R 在闭区域Ω上有一阶连续偏导数，∑是Q 的边界曲面的外侧 （3） （3） 斯托克斯公式⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂RQ P zy x dxdy dzdx dydz =⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 其中P 、Q 、R 在包含曲面∑在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，∑是以Γ为边界的分片光滑曲面，Γ的正向与∑的侧向符合右手规则。

5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P 、Q 在开单连同区域G 内有一阶连续偏导数，A 、B 为G 内任意两点，则以下命题等价： （1）⎰+ABL Qdy Pdx 与路径L 无关（2）对于G 内任意闭曲线L,0=+⎰LQdy Pdx(3)yPx Q ∂∂=∂∂在G 内处处成立 （4）在G 内，Pdx+Qdy 为某函数U(x,y)的全微分6、通量与散度、环流量与旋度 设向量),,(z y x A =P(x,y ，z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k则通量（或流量）Φ= ds n A⋅⎰⎰∑其中 n=（cos α, cos β, cos γ）为∑上点（x,y,z ）处的单位法向量。

散度 div A= y P x Q ∂∂+∂∂+ zR∂∂对坐标的曲面积分与∑的形状无关的充要条件是散度为零。

旋度 R Q P z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=环流量 向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量为⎰Γ++Rdz Qdy Pdx =⎰Γ⋅ds t A四、 四、 难点解析本章中对S ∆在xoy 面上的投影（xy S )∆为（xy S )∆=⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)(γγσγσxy xy其中γcos 为有向曲面S ∆上各点处的法向量与Z 轴的夹角余弦。

xy )(σ∆为S ∆在xoy 上投影区域的面积。

此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。

比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。

从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。

如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。

因此上面的规定就显得非常自然合理了。

五、 五、 典型例题例1、计算⎰Γ=ds x I 2Γ：圆周⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x解：由轮换对成性，得⎰Γ=ds x I 2=⎰Γds y 2⎰Γ=ds z I 2=⎰Γ++ds z y x 22231=⎰Γds R 231=332R π例2、设L ：222a y x =+为成平面区域D,计算⎰-+-L dy x dx y 3333 解：=-+-⎰L dy x dx y 3333（格林公式）⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰⋅a rdr r d 02204πθ=42a π 例3、求⎰⎰∑dxdy z 2，其中∑为曲面2222a z y x =++的外侧。

解法一、将∑分为上半球面1∑：222y x a z --=和下半球面2∑：222y x a z ---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=+=120222222222222=-----⎰⎰⎰⎰≤+≤+dxdy y x a dxdy y x a a y x a y x 解法二、利用高斯公式⎰⎰∑dxdy z2=)200(2222⎰⎰⎰≤++++a z y x z ）dxdydz=0 （对称性）例4、求曲线y=x y x 2,22=及x y =2所围成的图形的面积。

解：求曲线的交点B(1，1)，C(32,34)法一、定积分法 则所求面积为A=⎰-1022)2(dy y y +⎰-3402)2(dy y y =+6161=31法二、二重积分法 设所给曲线围成的闭区域为D.则 A=⎰⎰Dd σ=⎰⎰1222y y dx +⎰⎰32402yy dx dy =⎰-1022)2(dy y y +⎰-3402)2(dy y y =31法三、曲线积分法 设所给曲线围成的图形的边界曲线为L ，则 A=⎰Lxdy =⎰⎰⎰++OC CB BO xdy xdy xdy=⎰12dy y +⎰341dy y +⎰04232dy y =+3132+（32-）=31 例5、计算⎰+Lxdy ydx ，L ：从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周222R y x =+。

解：法一 用曲线积分与路径无关因为y P x Q ∂∂==∂∂1在xoy 面上恒成立，且xQ ∂∂及y P∂∂在xoy 面上连续，所以曲线积分⎰+Lxdy ydx 与路径无关。

于是⎰+Lxdy ydx =⎰+ABxdy ydx =⎰-RRdx 0=0法二、用曲线积分与路径无关，则⎰+AACB xdy ydx =0 （其中C(0,R)）法三、用曲线积分与路径无关，则⎰+Lxdy ydx =⎰-+)0,()0,(R R xdy ydx =⎰-)0,()0,()(R R xy d =)0,()0,(][R R xy -=0法四、用格林公式 因为y P x Q ∂∂=∂∂且xQ ∂∂及y P∂∂在闭曲线ACBA 上围成的闭区域D 上连续。

故由格林公式得⎰+AACB xdy ydx =⎰⎰∂∂-∂∂-Ddxdy yPx Q )(=0 于是⎰+Lxdy ydx =0⎰+-BAxdy ydx =0法五、用定积分计算，则L 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ，L 的起点A 对应与πθ=，综点对应于0=θ，于是 ⎰+Lxdyydx =⎰⋅+-⋅0]cos cos )sin (sin [πθθθθθd R R R R =⎰022cos πθθd R=2]2sin 21[πθR =0 例六、计算对坐标的曲面积分⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(其中∑是)0222h z y x z ≤≤+=（的下侧 解：设1∑为平面Z=h 被锥面222y x z +=所围成部分的上侧。