n
是偶数时,
C
2 n
最大
n1
n1
当 n 是奇数时, Cn 2 Cn 2 最大
(4)一连串数系数的和.
⑴C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
r n
C
n n
2n
⑵C11
C
1 2
C
1 3
C
1 k
C
1 n
C
2 等等
n1
思考 1.不用数学归纳法,你会证明下面公式吗?
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
1.3.3《二项式定理 -二项式系数的性质运用》
学习目标
▪ 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 ▪ 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的
性质解题 ▪ 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二
项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展 开式、通项公式、二项式系数的性质解题 ▪ 授课类型：新授课 ▪ 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪
0 n
a2Cn1
a3C
2 n
an
1C
n n
的值.
a1 (1 q)n
3.设an为等差数列, Sn 为其前 n 项的和( n N * )
求证:
a1Cn0
a2Cn1
a3C
2 n
an1C
n n
Sn1 2n n1
倒序相加法
运用二项式定理可解决许多问题，下面我们来做几个思考：
思考3.求 9192 除以100的余数.
求a 的最小正值.
4
4321
2
=
n(n 2
1)
2
法二:裂项尝试
思考
2.求证:
C
1 n
2C
2 n
3C
3 n
nC
n n
n 2n1
(尝试用两种以上的方法)
法一:倒序相加尝试 妙!
法二:通项变形尝试 变形的漂亮!
法三:赋值法尝试(运用导数知识构造恒等式)
灵活!
类似练习
练习 2. 已知an是等比数列,公比为q
求
a1C
法一: k 3 (k 1)k(k 1) k
∴原式= 1 1 2 3 2 2 3 4 3 (n 1)n(n 1) n
= 6C33 6C43
6C
3 n1
(1
2
3
n)
=
6(C
3 3
C43
C
3 n1
)
(1
2
3
n)
=
6C
4 n
2
n(n 2
1)
= 6 (n 2)(n 1)n(n 1) n(n 1)
证明： 3n (2 1)n
2n Cn1 2n1 Cn2 2n2
C n1 n
2
Cnn
2n1 (n
2)
(C
2 n
2n2
C
n1 n
2
C
n n
)
又∵n≥2，上式至少有三项，且Cຫໍສະໝຸດ 2 n2n2C
n1 n
2
Cnn
＞0
∴ 3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 .
注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧.(余数要为正整数)
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 . n
思考3答案
思考4答案
C 90 92
102
C992110
(1)92
1092
C 912 1091
C
2 92
1090
C
90 92
102
920
1
1092 C9121091 C9221090
C
90 92
102
1000
81
可见9192被100除的余数是 81
注意:余数为正整数
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
分析:注意到
C11
C21
C
1 3
Ck1
C
1 n
C2 n1
这就是前 n 个自然数的求和公式.
另外
C22
C
2 3
C
2 k
C
2 n
C3 n1
它说明的又是关于自然数的什么结论?
这启示我们可以运用组合数的性质来推导 上面公式.
类似地,还可以求和 13 23 33 n3 ?
提示
练习 1.求和 13 23 33 n3 ?
思考3.求 9192 除以100的余数. 解: 9192 (100 9)92
10092 C91210091 9 C92210090 92 C9921100 991 992
前面各项均能被100整除.只有 992 不能被100整除
992 (10 1)92 1092 C9121091 C9221090
二项式定理(四)─二项式系数性质运用
复习引入
思考一
思考二
思考三
本课小结
二项式定理(四)─二项式系数性质运用
通过观察杨辉三角形(二项式系数表)可以发现二
项式系数的许多性质:
(1)对称性:
Cnm
C nm n
(2)递推性:Cnm1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值.
逐渐增大,随后又逐渐减小.
n
当
证明
(1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
n
1 1 Cn2
1 n2
2
通项C
k h
1 nk
n(n 1) (n k k!
1) 1 nk
≤
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1 )n n
1
Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Cnn
1 nn
≤
2
1 2!
1 3!
1 n!
2
1 2
1 22
1 2n1
21
所以
1
2n1
3
1
2 (1
)n
3
n
课外练习:
1.试求和: Cn0
Cn1 2
Cn2 3
Cnn n1
2n1 1
.n1
2.设x 1，n N *且n 2，求证：xn n2 ( x 1)2 4
3.已知| x |≤1, n N *, 求证:（1 x)n (1 x)n ≤ 2n
4.已知n为正整数,2n+2×3n+5n-a 都能被25整除,