宁波工程学院 高等数学AI 教案
习题课11（三重积分部分）
1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积：
⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体.
2.化三重积分dv z y x f ⎰⎰⎰Ω
).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面
1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域.
3.dv z ⎰⎰⎰Ω
2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >.
提示：用坐标轴投影法.
4.利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1）v d y x ⎰⎰⎰+Ω22，其中Ω是由曲面22
9z x y =--及平面0z =所围成的闭区域； （2）v d y ⎰⎰⎰Ω
，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域.
（3）⎰⎰⎰
Ω++1
22y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域； （4）dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -=
，0=z ，)0(>=a a z ，
0=y 所围成的闭区域。

5.利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）dv y ⎰⎰⎰
Ω2，其中Ω为介于两球面2222
x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<.
（2）v d y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω是由曲面z =
与z =所围成的闭区域. （3）计算⎰⎰⎰Ω
++dv z y x f )(2
22，Ω： 1222≤++z y x （4）计算
dv e z y x Z ⎰⎰⎰≤++1
222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。

（1）⎰⎰⎰
Ωdxdydz xyz ，Ω是由曲面226y x
z --=，22y x z +=所围成闭区域； （2）dxdydz z y x z
⎰⎰⎰
Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，223y x z +≥所确定；
（3）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222R z y x
≤++ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的
公共部分。

7.将三次积分⎰⎰⎰=1
01),,(x y x
dz z y x f dy dx I 改换积分次序，按x,y ,z 的次序积分。

8.设f(x)在[0,1]上连续，求证：⎰⎰⎰⎰=103
1
01])([61)()()(dx x f dxdydz z f y f x f x y x 9.求平面Z=122++y x 上M 0（1，-1，3）的切平面与曲面Z=22y x +所围成的空间区域的体积。

10.计算⎰⎰⎰
Ω+=dv y x I )(2
2，Ω为平面曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕Z 轴旋转一周形成的曲面与平面Z=8围成的区域。

11. 计算dx e I x ⎰+∞
-=02
12.设⎰⎰⎰Ω
=dV z y x f I ),,(，其中Ω是由4222≤++z y x 和z y x 322≤+围成的区域，
试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。

解：（1）在直角坐标系下，
两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=++
13 342222222z y x z y x z y x ， }3),{(22≤+=y x y x D xy 。

⎰⎰⎰--+----=22432223233
3),,(y x y
x x x dz z y x f dy dx I 。

（2）在柱面坐标系下，
}43 ,30 ,20),,{(22
ρ-≤≤ρ≤ρ≤π≤ϕ≤ϕρ=Ωz z ，dz d d dV ϕρρ=，
（3）在球面坐标系下，21ΩΩ=Ω ，
}20 ,30 ,20),,{(1≤≤π
≤θ≤π≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ，
}sin cos 30 ,23
,20),,{(22θθ≤≤π≤θ≤ππ≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ， ϕθθ=d drd r dV sin 2。