每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论
圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.
定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b
+=弦AB （AB 不
平行y 轴）的中点，则有：2
2AB OM b k k a
⋅=-
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有
1212
AB
y y k x x -=-，22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：2222
1212
22
0x x y y a b --+=整理得：22
2
1222
212y y b x x a
-=--，即2
121221212()()()()y y y y b x x x x a
+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以
0012
001222OM
y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a
⋅=-
定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22
221x y a b
-=弦AB
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
（AB 不平行y 轴）的中点，则有2
2AB OM
b k k a
⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212
AB
y y k x x -=-，22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22
2
1222
212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a
+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012
001222OM
y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a
⋅= 例1、已知椭圆22
221x y a b
-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中
点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、
1
2
B
、2 C
、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且1
2
OM
k =-，根据定理有2212b a =，即
222
2112
a c e a -=-=
，解得e =，所以B 答案正确.
例2、过椭圆22
1164
x y +
=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.
解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知1
4
AB OM k k ⋅=-，显
然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为1
1(2)2y x -=--，即
240x y +-=.
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每例3、过椭圆22
16436
x y +
=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.
解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM y k x
=
，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜
率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29
(8)16
y x x =-+
例4、已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂
直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：2222
0a b a b x a a
---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:21
21
AB
x b k a y =-⋅
2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：21
1121
()a y y y x x b x -=-，令0y =解得
21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：2222
0a b a b x a a ---<<
例5、已知双曲线2
2
12
y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程； 若不存在，说明理由.
解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方
程2
2
12
y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每l 不存在.
定理1推论：若A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上
任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都
存在时，有2
2PA PB b k k a
⋅=-
. 证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有
OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：
22OM PB
b k k a ⋅=-.所以2
2PA PB b k k a
⋅=-.
类似地可以证明
定理2推论：若A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=上关于中心对称的两点，P 是双曲
线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有2
2PA PB
b k k a
⋅=.。