弯曲与扭转的组合变形
按第三强度理论
eq3 1 3
代入已求的主应力得：
按第四强度理论
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1 2
代入已求的主应力得：
eq3 2 4t 2
eq4 2 3t 2
eq3 2 4t 2 （A）
eq3
1 W
M 2 T 2
（B）
W
D1
tn
公式的使用条件
（A）（C）式适用 于形如D1点应力状 态的强度校核；
eq4 2 3t 2 （C）
eq4
1 W
M 2 0.75T 2 （D）
1 3
2
2 0
2
2
t
2
校核危险点的强度
对于脆性材料，由于拉大压小，应采用第一强度理论。
eq1 1
代入已求的主应力得：
eq1
2
2
2
t 2
T
校核危险点的强度 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
试比较采用哪个强度理论偏于保守（安全）？
二、弯曲--扭转组合变形
问题
A
z
y
T
MZ
PYL MY
校核AB杆的强度
内力分析
找危险截面
PY PZ
B
x Me
xy平面：MZ max PY L xz平面：MY max PZ L
？ A截面危险！ 圆截面双向平面弯曲 如何处理弯矩的问题
Me
My
最大拉应力σT
y
400
500
600
A
2t2
t1
C
D
x
B
z
t2
2t1
y
2t2
y
t1
45o c z t2
G2
Dz
G1
2t1
y
400
500
600
1.外力简化
A
2t2
t1
C
D
x
B
M0
9550
PK n
MC MD M0
z
3t2
t2
y
2t2
2t1
y
t1
t1
MD R1
t2
MC R2
pcy 3t2 cos 45o G2 PCZ 3t2 sin 45o
一、拉（压）--扭转组合变形
A
z
y
B
P Me
•画内力 图
N
校核AB杆的强度 x
•内力分析：拉-扭组合变形
•找危险截 面
任意截面
T
应力分析
D1
t
找危险点
在D1点截取原始单元体
D1
t
t D1
D2 危险点应力状态分析
D1
N
A
t T
原 始 单 元
WT 体
D1点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：
（B）（D）式适用 于塑性材料的圆截 面或空心圆截面轴 发生弯扭组合变形 的强度校核。
思考：如果危险截面是拉伸-弯曲-扭转组合变 形，应当怎么样校核强度？
y
PY
A
Px
x
PZ
Me
z
思考：曲拐受力如图，危险截面在哪里？应当 怎么样校核强度？
y q
A
z
l
2 ql 3 C
P
B a
例题：皮带轮传动轴如图示。已知D轮为主动轮，半径R1=30cm,
皮带轮自重G1=250N,皮带方向与Z轴平行；C轮为被动轮，皮带轮
自重G2=150N,半径R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机的
功 率 PK=14.65 千 瓦 ， 轴 的 转 速 n=240 转 / 分 ， 轴 材 料 的 许 应 力
[σ]=80MPa 。 试用第三强度理论设计轴的直径d。
对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
按第三强度理论
按第四强度理论
eq3 1 3
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1 2
代入已求的主应力得：
代入已求的主应力得：
eq3 2 4t 2
eq4 2 3t 2
代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面WT=2W得：
eq3
1 W
M 2 T 2
Hale Waihona Puke 代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面WT=2W得：
eq4
1 W
M 2 0.75T 2
研究结果的讨论 对于危险点应力状态的强度条件
YB ZB
外力值的计算
M0
9550 PK n
955014.65 240
583 Nm
YA 4.39kN
t1
MD R1
583 30 102
1.79kN
t2
MC R2
583 20 103
2.69kN
ZA 6.33kN YB 1.71kN ZB 4.74kN
M
z
Mz
最大压应力σC
PZL
中性轴
y
应力分析
D1
t
找危险点
在D1点截取原始单元体
D1
t
t D1
D2 危险点应力状态分析
D1
M
W
t T
原 始 单 元
WT 体
D1点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：
1 3
2
2 0
2
2
t
2
校核危险点的强度
§8–4 弯曲与扭转的组合变 形
•问题的特点：在横截面上既有正应力又有切应力。
•分析问题的方法：由于正应力和切应力不能直接 相叠加，因此，必须根据不同的材料，采用适当 的强度理论进行强度分析。
•分析问题的步骤：根据内力图，确定危险截面， 在危险截面上画出应力分布，确定最大（拉、压） 应力（即：危险点），采用强度理论进行强度校核。
pcy 3t2 cos 45o G2 5.85kN
PCZ 3t2 sin 45o 5.7kN
PDy G1 0.25kN
PDz 3t1 5.37kN
y ZAA
FAY y
A y
MC
C
z PCY
PCZ
MC
C
z
MD
D PDZ
PDY
MD D
A
FAY y
C
z PCY
Z AA
C
z
PCZ
D
PDY
D
PDZ
Bx
YB ZB 2.内力计算
B x 圆轴
扭转
弯
B x Xy面的
扭 组 合
YB
平面弯曲
变
形
Xz面的
B x 平面弯曲
ZB
y
ZAA FAY
MC
C
z PCY
PCZ
T kNm
M Z kNm 1.756
M Y kNm 2.532
MD
D PDZ
PDY
0.538
1.026 2.844
45o c z
t2
MD
y G2
MC
ZA
3t1 Dz
M D G1
2t1
MD
PDy G1 PDz 3t1 YA,ZA,YB , ZB可由 平衡方程求得。
B x 轴上的外力
A FAY
C
z PCY
PCZ
D PDZ
PDY
YB ZB 可全部确定
y
ZA
A
FAY
MC
C
z PCY
PCZ
MD
D PDZ
PDY
Bx
