偏微分方程数值解
一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2
1
)(n R x x b x Ax x J ∈-=
，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n
R
x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令
),(2
),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+
-+=+=, (3分)
因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若
n
R x ∈0满足
b
Ax =0,则对于任意的x ,
)(),(2
1
)0()1()(00x J x Ax x x J >+
==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧
==∈=+-=0
)(,0)()
,()(b u a u b a x f qu dx
du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]
,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈
建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和
Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11
0==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx
dv dx du p v u a b a b
a ==+=⎰⎰,),(10
b a H v ∈∀
即变分问题的Galerkin 形式. (3分)
令⎰-+=-=b a dx fu qu dx
du
p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为
求),(1
0*b a H u ∈,使)(min )(1
*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,
三（20分）、对于边值问题
⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0
|)
1,0()1,0(),(,12222G u G y x y
u
x u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就取N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。
解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为
1222
1
,1,2
,1,1-=+-+
+-+--+h
u u u h
u u u k j jk k j k
j jk k j (5分)
应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y u
x u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分)
(2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=11
1191,4110140110410114F A (4分) 解为T u )1,1,1,1(18
1
=
(3分) (3) 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----B I
I B I
I B
,⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=4114114 B (5分)
评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B 的形式2分
四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<∂∂=∂∂T t t u t u x x x u T
t x x u
a t
u 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22ϕ
（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即F BU AU k k τ+=+1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性
（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
解:(1) 区域离散,格式为
k
j x k j
k j u h a
u u 22
1
1δτ
=-+ , (5分) 应用T a y l o r 展开得到,误差主项为)()(12)(214244222h O x
u ah t u k
j k j ++∂∂-
∂∂ττ,阶为)(2h O +τ (3分) (2) },21,{,r r r diag B E A -==, (4分) 稳定条件为2/1≤r (3分)
(3) 格式为
))1((1
221
k j k j x k j
k j u u h
a u u θθδτ
-+=
-++, (3分) 当21≥
θ格式恒稳定,当21<θ,稳定条件为θ
211-≤r (2分)
五（10分）、逼近0=∂∂+∂∂x u a t u 的三层差分格式0221
111=-+--+-+h
u u a u u n j n j n j n j τ 分析格式的稳定性
解:计算形式为1
111)(--+++--=n j n j n j n j u u u ar u (2分)
此为三层格式,化为两层格式.令n j n j u v =+1,则有
⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-++n
j n j
n
j
n j n j n j u v v u u ar u 1111)( (4分) 令jh
i n n j jh i n n j e
w v e w u αα21,==,代入格式,消去公因子,得到 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n w w h iar w w 211211011sin 2α (2分) 放大矩阵为⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=011sin 2hi ar G α,特征方程为λαλλ11sin 2||--+=-hi ar G E 01sin 22
=-+=λαλhi ar ,i h r a h ar 2
sin 44sin 22222
,1ααλ-±-=
121=λλ,1|}||,max{|21≤λλ的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即
0sin 44222≥-=∆h r a α.考虑到α的变化,稳定条件为1||≤ar (2分)
六（10分）、建立波动方程22
222x
u a t u ∂∂=∂∂的初值问题的显格式，推导截断误差. 解:差分格式为
n
j x n j
n j n j u h a u u u 22
2
2
1
112δτ=+--+, (5分)
截断误差为)(12144244
2244h O h x u a t u n
j
n j ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ττ,阶为)(2
2h O +τ (5分)
七（10分）、对于二维抛物型方程)(2222y u
x u a t u ∂∂+∂∂=∂∂建立向后差分格式
（隐格式），指出截断误差阶，分析格式的稳定性。
解: 差分格式为
)(1
21221++++=
-n jk y n jk x n
jk
n jk u u h
a u u δδτ
(4分) 误差阶为)(2h O +τ (3分) 放大因子为2
sin 42sin 411
),,(2
2h
r h r G τβα++=
,恒稳定. (3分)
八（10分）、分析差分格式
)0(221
12
1
11>+-++-=--+-++a cu h
u u b
h u u u a
u u k j k
j k j k
j k j k j k
j
k j τ
的稳定性
解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分
2222)cos 1(4)cos 1(41sin ||kh kh kh G -+--+=μμλ
222)cos 1(4)cos 1(41)cos 1)(cos 1(kh kh kh kh -+--++-=μμλ )]cos 1()cos 1(44)[cos 1(122kh kh kh +-----=λμμ (2分) von Neumann 条件1||≤G 变为
0)cos 1()cos 1(4422≥+---kh kh λμμ 即0)cos 1)(4(24222≥----kh λμλμ 只需
024)4(2,0242222≥-+-≥-λμμλλμ
条件024≥-λμ可以写成
122≤ν
τa 。
第二个条件可化为122≤h ντ
，因此差分格式稳定的条件是
12,1222≤≤h
a ντ
ντ (3分)。