圆锥曲线与方程-－椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两定点Ｆ1,Ｆ2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a,2a ＞|F 1F 2｜=2c};这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。

2．标准方程: 222ca b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （ａ＞ｂ＞0）; 焦点F(±ｃ，０）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞０）;焦点F(０, ±ｃ）注意：①在两种标准方程中,总有a>ｂ＞０，并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围(１)椭圆12222=+by a x （ａ＞ｂ>0） 横坐标-a ≤x ≤a ，纵坐标-b ≤ｘ≤b(2)椭圆12222=+bx a y (a>b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a２．对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 ３.顶点（1）椭圆的顶点：A 1(-a,0)，A 2(ａ，0),B １（０,-b)，B 2（0，b ）(2）线段A 1A ２，B １B ２ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b ，ａ和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率(1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca,即a c 称为椭圆的离心率，ﻫ记作e （10<<e )，22221()be a a==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （ｅ越小)，椭圆就越接近于圆;e 越接近于１ （e 越大）,椭圆越扁;注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

小结一：基本元素（1）基本量：a 、ｂ、c 、e 、（共四个量）, 特征三角形 （2）基本点:顶点、焦点、中心（共七个点) （3）基本线：对称轴（共两条线) 5．椭圆的的内外部（1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.6.几何性质（1)点Ｐ在椭圆上, 最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠ （２）最大距离,最小距离 7.直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式; （2）弦长公式: （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法例题讲解： 一.椭圆定义: 1．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是３.已知椭圆22169x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -＝1(1)表示圆,则实数k 的取值是 ．(２)表示焦点在ｘ轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在ｙ型上的椭圆，则实数ｋ的取值范围是 . （4）表示椭圆,则实数k 的取值范围是 .2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 , 顶点坐标是 ，焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ,3.椭圆2214x y m+=的焦距为2,则m = 。

４.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(,那么=k 。

三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

２．焦点在坐标轴上，且213a =,212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上,1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为ﻩﻩ4. 已知三点P(5，2)、1F (-6，０)、2F （6，０),求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

四．焦点三角形1.椭圆221925x y +=的焦点为1F 、2F ,AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。

２.设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点,P 为椭圆上的任一点,则21F PF ∆的周长是多少?21F PF ∆的面积的最大值是多少?３．设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点,12,F F 是焦点,若12F PF ∠是直角,则12F PF ∆的面积为 。

变式：已知椭圆14416922=+y x ,焦点为1F 、2F ,P 是椭圆上一点. 若︒=∠6021PF F , 求21F PF ∆的面积．五.离心率的有关问题１.椭圆1422=+m y x 的离心率为21,则=m 2．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120,则此椭圆的离心率e 为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△Ｆ1ＰＦ２为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

５.在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = ．六、最值问题:１、已知椭圆2214x y +=,A(１,0)，P 为椭圆上任意一点，求｜P Ａ|的最大值 最小值 。

2.椭圆2214x y +=两焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上,则|PF 1|·|P Ｆ2|的最大值为__＿＿_,七、弦长、中点弦问题１、已知椭圆1422=+y x 及直m x y +=线． （１）当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．2已知椭圆1222=+y x ，(1）求过点(1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程（2)求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；同步测试1已知F 1(-8,０)，F 2(8，0），动点Ｐ满足|PF 1｜+|P Ｆ2|＝16,则点P 的轨迹为（ )A 圆B 椭圆 Ｃ线段 D 直线2、椭圆221169x y -=左右焦点为F １、F 2，ＣD 为过Ｆ1的弦，则∆CDF １的周长为___＿_＿ 3已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A －1＜k<1 Ｂ k>0 C k ≥0 Ｄ k>１或k<－1４、求满足以下条件的椭圆的标准方程（１)长轴长为10,短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点（２,1)(3) 经过点(5，1),（3，２)5.椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F １、F 2，过点Ｆ１作x 轴的垂线交椭圆于P 点。

若∠F １ＰＦ2＝６0°，则椭圆的离心率为________＿6已知椭圆的方程为22143x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积7.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为Ｆ1,则满足△ＡBF 1为等边三角形的椭圆的离心率为8.椭圆13610022=+y x 上的点Ｐ到它的左焦点的距离是12,那么点P 到它的右焦点的距离是9．已知椭圆)5(125222>=+a y ax 的两个焦点为1F 、2F ,且821=F F ，弦ＡB 过点1F ,则△2ABF 的周长１0、椭圆32x ＋22y =1与椭圆22x ＋32y =λ(λ>0）有(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 （Ｃ)相同的准线 (Ｄ)以上都不对１1、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x （0<k<9)的关系为(A)相等的焦距 (B ）相同的的焦点 （C)相同的准线 (Ｄ)有相等的长轴、短轴1２.点P 为椭圆1162522=+y x 上的动点，21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF PF ⋅的最小值为_＿＿__＿___＿ ，此时点P 的坐标为_＿__＿_＿＿_＿＿_＿_＿_.感受高考1.分别过椭圆＼f(ｘ2，a 2）＋错误!＝1（a >b >0）的左、右焦点F １、F ２作两条互相垂直的直线ｌ1、l 2,它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ )A ．(0,1） ﻩﻩB.错误! C ．错误!D.错误!2．椭圆错误!+错误!=１的焦点为F １、F 2，椭圆上的点Ｐ满足∠F 1PF ２＝60°，则△Ｆ1PF 2的面积是( ）A.错误!B ．错误! C.错误!ﻩﻩ Ｄ．错误!３．已知椭圆Ｅ的短轴长为6,焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于（ )4已知点F ,Ａ分别是椭圆错误!＋错误!＝1(ａ＞b >0)的左焦点、右顶点，B (0,b )满足错误!·错误!＝0,则椭圆的离心率等于（ )A.错误! ﻩ ﻩB.错误!C.错误! ﻩﻩD.错误!5．已知椭圆错误!＋错误!＝1的左右焦点分别为Ｆ1、Ｆ2,过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、Ｂ两点,以下结论中：①△ＡB Ｆ1的周长为8;②原点到ｌ的距离为1;③|AB ｜＝＼f （8，3)；正确结论的个数为（ )A.3 ﻩＢ．2 C ．1 ﻩD ．06．已知圆(ｘ＋２)2＋y 2＝3６的圆心为M ,设Ａ为圆上任一点，N (2,0),线段AN 的垂直平分线交M Ａ于点P ，则动点P 的轨迹是( ）A.圆 ﻩ B ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线7.过椭圆C :错误!＋错误!＝1（a >ｂ>0）的一个顶点作圆x 2＋ｙ2=b 2的两条切线,切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为_＿＿＿＿＿__．8若椭圆x ２a 2+＼f （ｙ2，b 2)=１(a >b >0)与曲线ｘ2+ｙ２＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_＿_＿____.9.已知△ABC顶点A(-4，0)和C（4,0),顶点B在椭圆错误!+错误!=１上,则错误!=_＿___＿__.1０.已知椭圆C：x2a2+错误!=1(a＞b＞0)的长轴长为４.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线ｙ=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标; ．１１.椭圆Ｅ经过点A（2，3)，对称轴为坐标轴，焦点Ｆ1，F2在x轴上，离心率e=错误!．(1)求椭圆E的方程；。