2020届河南省十所名校高三毕业班阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|2}A y y x ==+，{}2|B x y x ==，则A B ⋂=（ ）A ．{1,2}-B ．{1,4}C ．[0,)+∞D ．R【答案】D【解析】由题意得，求交集取两个集合的公共元素。

【详解】由题可得因为{}|A y y R =∈、{}|B x x R =∈。

所以A B R ⋂= 【点睛】交集 、 集合的代表元素2．某校进行青少年法律知识测试，测试成绩经过统计得到如图所示的频率分布直方图，若用扇形统计图表示，则在扇形图中[70,80)分所对应的圆心角大小为（ ）A ．5π B ．25π C ．35π D ．45π 【答案】B【解析】1、计算出[70,80)的频率。

2、用2π乘[70,80)的频率。

【详解】由图可得[70,80)的频率0.02100.2P =⨯=.所以圆心角220.25ππ=⨯= 【点睛】 频率分布直方图3．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据复数z ，写出其共轭复数z 。

代入3455z i z =+即可解出a 。

【详解】 解: z a i =+Qz a i ∴=- 343443++2555555z a a i a i i a z ⎛⎫∴=+⇒+=-⇒= ⎪⎝⎭【点睛】复数与共轭复数之间的关系4．抛物线顶点为坐标原点O ，对称轴为y 轴，直线3260x y --=过抛物线的焦点，则该抛物线的方程为（ ） A ．212x y =- B ．212y x =C ．28x y =D ．28y x =【答案】A【解析】根据题意可确定抛物线的焦点在y 轴，把焦点代入直线即可。

【详解】由题意得抛物线的焦点在y 轴，设抛物线的方程为22x py =。

把焦点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入直线326026062px y p --=⇒-⨯-=⇒=-。

所以212x y =- 【点睛】抛物线方程焦点。

点与直线的关系5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若257,2,S S S -成等差数列，且2743a a a =，则1a =（ ） A ．316B ．332C ．316±D ．332±【答案】A【解析】由257,2,S S S -成等差数列可把公比q 算出，再把2743a a a =换成1a 和q 的关系即可。

【详解】25,7,2S S S -Q 是等差数列()()()5721112572111-2244111a q a q a q S S S q q q q ⎛⎫-- ⎪∴⨯=-⇒=-⇒= ⎪---⎝⎭2743a a a =Q631111233a qa q a q a q ∴=⇒= 1316a ∴=【点睛】等差中项，等比数列前n 项和，等比数列通项。

6．在Rt ABC ∆中，2BA BC ==，点D 在斜边AC 上，且2AD CD =，E 为BD 的中点，则CE BD ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．118B ．29C ．118-D ．29-【答案】D【解析】根据题意可得Rt ABC ∆为等腰直角三角形，且直角边为2，斜边为12x x ，所以CE BD ⋅u u u r u u u r 转化为AB u u u v、BC uuu r 、AC u u u v 之间的关系即可。

【详解】在Rt ABC ∆中，因为2BA BC ==，所以AC 。

因为2AD CD =。

所以3DC =、AD =、()()()112 (229)CE BD CB CD BA AD CB BA CB AD CD BA CD AD ∴=++=+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【点睛】向量平行四边形法则。

直角三角形。

7．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），则该双曲线的方程为（ ）A ．22195x y -=B ．22145x y -=C ．22159x y -=D ．22154x y -= 【答案】B【解析】根据点到直线的距离可得出两个方程，再根据双曲线中222+c a b =即可解出a b 、。

【详解】由双曲线的对称性可得两个焦点，顶点到到两条渐近线的距离相等，所以任意取一个焦点和顶点即可。

Q 双曲线的渐近线方程为b y x a=()220.25251y ba ab c a b -∴=⇒=+ 220.55(2)y cb b a b-∴=⇒=+222(3)c a b =+Q所以由（1）（2）（3）得224,5a b == 【点睛】双曲线的顶点，焦点，渐近线，点到直线的距离公式。

8．已知某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的体积是（ ）A ．43B ．83C ．163D ．323【答案】B【解析】根据三视图还原成是四棱锥（用正方体切割）即可。

【详解】由三视图可得，原四棱锥如图，因此()2121118 222212221222333 V+⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=【点睛】三视图还原成几何体。

9．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72 B．56 C．48 D．40【答案】A【解析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。

【详解】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472⨯⨯=（种）【点睛】分步完成用累乘10．如图所示，两半径相等的圆A，圆B相交，CD为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段AB上任取一点M，则M在线段EF上的概率为（）A ．22π-B ．14π-C ．41π- D ．21π-【答案】C【解析】根据题意先求出矩形ABCD 的面积，从而求出AB,EF 即可 【详解】设圆的半径为r 。

由题意可得2211242ABCD S r r ππ=⨯⨯=W 所以21122AB r r r ππ=÷=，1222EF r r r r ππ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭所以24112EF r r P AB r πππ-===- 【点睛】圆的面积公式、矩形的面积公式、几何概型。

11．已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧=⎨>⎩…若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,133e e ⎛⎫-+⎪⎝⎭B ．1,13e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．111,33e ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得()()-1.00F F <,()()1.0F F e <得出a 的范围。

【详解】因为()F x 在(1,0)-和(1,)e 有零点，所以()()11-1.00133e F F a e <⇒-<<+ ()()11.0133e F F e a <⇒<<+，所以a 的取值范围为11,133e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】 零点存在定理。

12．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D【答案】D【解析】由题目可得，转化成两个点之间的距离最小即可。

【详解】Q ln121 13a cbd+-==+-ln11ln1ab ab+∴=⇒=+，2113cd cd-=⇒=+-∴可以看成()lnf x x=和()1g x x=+之间的最小值'1()f xx=Q∴当111xx=⇒=时，即点()1,0到直线()1g x x=+的距离最小∴222d-==【点睛】函数之间距离最小、导数、两点的距离公式。

二、填空题13．若x，y满足约束条件230,260,0,x yx yx y+-≥⎧⎪+-⎨⎪-⎩„…，则2yzx+=的取值范围为______. 【答案】2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】约束条件所表示的平面区域如下图由目标函数可得，Z表示点()0-2，的斜率，因此min max02212,3331Z Z++====【点睛】斜率型的目标函数。

14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若615S =，156S =，则11a =______. 【答案】-1【解析】根据等差数列的前n 和n S 得出1a 和d ，即可求出通项式，从而求出11a 。

【详解】由题意可得61115125117,6315715S a d a d S a d =+=⎫⎪⇒==-⎬=+=⎪⎭ 111101a a d ∴=+=-【点睛】等差数列前n 项和，等差数列的通项式。

15．已知函数1()cos 2f x ax x =+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最大值12π+，则实数a =______.【答案】12-【解析】根据()f x 求出'()f x ，判断()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性即可。

【详解】()'1()cos ()cos sin 2f x ax x f x a x x x =+⇒=-Q ,cos sin 02x x x x ππ⎡⎤∈⇒-<⎢⎥⎣⎦Q∴当0a <时，()'()0f x f x >⇒为增函数()max 11()22f x f a ππ+⇒==⇒=- 当0a >时，()'()0f x f x <⇒为减函数max 11()222f x f ππ+⎛⎫⇒==≠⎪⎝⎭（舍去） 所以12a =- 【点睛】函参数函数单调性的讨论。

16．已知棱长为2的正方体内接于球O ，点P 是正方体的一个顶点，点Q 是正方体一条棱的中点，则直线PQ 被球O 截得线段长的最大值为__.【答案】103【解析】由题可得球的半径为正方体的体对角线的一半，当直线PQ 被球O 截得线段最长时，两点刚好在正方体体对角线的两条棱上。

【详解】 由题意可得22222232r ++==，如下图：这时PQ 被球O 截得线段最长 由图可得233AP OP =⇒=由余弦定理得222510cos 2.33AP PQ AQ PN QPA PN PM AP PQ PO +-<==⇒=⇒= 【点睛】 球的内切几何体。