目录考点01：基本方法和结论 (3)考点02：直角三角形 (8)考点03：点到直线的距离 (12)考点04：等腰三角形 (15)考点05：多边形的面积 (22)考点06：相似三角形 (30)考点07：梯形 (35)考点08：平行四边形 (44)考点09：交点坐标 (52)考点10：旋转 (55)考点11：翻折 (61)考点12：平移 (67)考点13：对称 (70)考点14：角平分线性质 (79)考点01：基本方法和结论1、若要在平面直角坐标系中求某一点的坐标：⑴求一般的点的坐标：过该点作x 轴或y 轴的垂线。

⑵求函数及坐标轴的交点坐标：①求函数及x 轴的交点坐标：令0=y ；②求函数及y 轴的交点坐标：令0=x ；⑶求两个函数的交点坐标：将函数解析式联立成方程组，方程组的一组解就是一个交点坐标；⑷求函数图象上的点的坐标：设其坐标为（x ,该函数的解析式）；2、抛物线c bx ax y ++=2的性质：⑴配方为：c bx ax y ++=2a ac b a b x a 44222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ⑵开口方向及最值：①当0>a 时，函数图象开口向上，函数有最低点（a b 2-，），当时，函数有最小值为；②当0<a 时，函数图象开口向下，函数有最高点（a b 2-，），当时，函数有最大值为；⑶对称轴是：直线；⑷顶点坐标为：（ab 2-，）； ⑸抛物线c bx ax y ++=2及抛物线2ax y =的形状相同，是由抛物线2ax y =的图象向左平移ab 2个单位，向下平移个单位得到的； ⑹抛物线c bx ax y ++=2及x 轴的交点情况： ①当△＞０时，抛物线及x 轴有两个不同的交点，交点坐标分别为：（，0）、（，0）；②当△＝０时，抛物线及x 轴只有一个交点，交点坐标为（ab 2-，0）；③当△＜０时，抛物线及x 轴没有交点；3、求二次函数解析式的方法：⑴当已知二次函数图象上的一般三点时，设其解析式为一般式：c bx ax y ++=2；⑵当已知二次函数及x 轴的交点坐标为（1x ，0）、（2x ，0）时，设其解析式为交点式：()()21x x x x a y --=；⑶当已知二次函数的对称轴或最值或顶点坐标为（k ，h ）时，设其解析式为顶点式：()h k x a y +-=2；4、由抛物线c bx ax y ++=2的大致图象确定a 、b 、c 符号的方法： ⑴a 看方向：开口向上，a>0，开口向下，a<0。

⑵b 看左右：左同右异中为0。

因为抛物线的对称轴是_________，所以若抛物线的对称轴在y 轴的左边，则a 、b____，所以若抛物线的对称轴在y 轴的右边，则a 、b____；若抛物线的对称轴是y 轴，则c=0；⑶c 看上下：上正下负中为0。

抛物线及y 轴的交点坐标是______，所以当抛物线及y 轴的交点在y 轴的正半轴上时，则c____0，当抛物线及y 轴的交点在y 轴的负半轴上时，则c____0; 当抛物线及y 轴的交点在原点时，则c=0;⑷交点个数看∆：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 及x 轴交点的个数由一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解的个数确定，所以若抛物线及x 轴有两个交点，则b 2－4ac___0，所以若抛物线及x 轴有一个交点，则b 2－4ac___0，所以若抛物线及x 轴有0个交点，则b 2－4ac___0。

⑸当x=1时，y=a+b+c, 当x=－1时，y=a－b ＋c ；当x=2时，y=4a+2b+c, 当x=－2时，y=4a －2b ＋c ；所以观察x=1、－1、2、－2时所对应的图像上的点在轴的上方或下方，就可以判断a ＋b ＋c 、a －b ＋c 、4a ＋2b ＋c 、4a －2b ＋c 的正负。

5、在平面直角坐标系中求多边形面积时，应首先求出（或表示出）多边形的每个顶点坐标⑴将多边形分割成直角三角形及直角梯形的面积的和或差。

⑵如图：若要求△ABC 的面积，则先过处于中间位置的顶点C 作CN ⊥x 轴于点N （或过点B 作y 轴的垂线），交AB 于点M ，则B A M C B A BCM ACM ABC x x y y x x CM S S S -•-=-•=+=∆∆∆2121，其中，要求点M 的坐标，则需先求直线AB 的解析式，然后将点C 的横坐标代入即可求出点M 的纵坐标。

若点C 的横坐标未知，则设点M 坐标为（x ,直线AB 的解析式）；6、平面内两点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）之间的距离公式为：()()221221y y x x AB -+-=，线段AB 的中点坐标为。

7、平面内点P （x 0，y 0）到直线l ： Ax+By+C ＝0的距离为：8、若直线11b x k y += 及直线22b x k y +=互相平行，则21k k =；若直线11b x k y +=及直线22b x k y +=互相垂直，则121-=•k k 。

9、求最大值或最小值时，首先建立一个函数关系式： ⑴若建立的函数关系式是一次函数：①当0>k 时，由于y 随x 的增大而增大，所以当x 取最大值时，y 有最大值，当x 取最小值时，y 有最小值；②当0<k 时，由于y 随x 的增大而减小，所以当x 取最大值时，y 有最小值，当x 取最小值时，y 有最大值；⑵若建立的函数关系式是二次函数，首先将解析式配方为：a acb a b x a y 44222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，①当0>a 时，由于函数图象开口向上，当时，函数有最小值为； ②当0<a 时，由于函数图象开口向下，当时，函数有最大值为；10、在一次函数的一般式或二次函数的顶点式中，平移后的解析式的规律为：左加右减自变量，上加下减常数项。

11、将抛物线a ac b a b x a y 44222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的图象绕其顶点旋转180º后的抛物线解析式为a ac b a b x a y 44222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 12、⑴如果点（1x ，y ）、（2x ，y ），即纵坐标相等的两点关于直线a x =对称，那么；⑵已知点A 、D 的坐标及直线EF 的解析式，在直线EF 上求点P ，使△ADP 的周长最小的方法：过点A 作AC ⊥EF ，并延长AC 到B ，使BC AC =，则点A 和点B 关于直线EF 对称，连结BD ，交EF 于点P ，则BD PD PB PD PA =+=+， 若直线EF 上另选取一点P '，则BD D P B P D P A P >'+'='+'∴D P B P PD PA '+'<+∴直线EF 上的所有点中，存在点P 到点A 和点D 的距离之和最小，而AD 是定值，故所求作的点P 满足△ADP 的周长最小。

①作点A 关于直线EF 对称的对称点B ，利用直线AB ⊥直线EF 及点A 的坐标求直线AB 的解析式；②利用方程组求直线AB 及直线EF 的交点C 的坐标；③利用中点坐标公式求点B 的坐标；④利用B 、D 坐标求直线BD 的解析式；⑤利用方程组求直线BD 及直线EF 的交点P 的坐标；13、如图：已知点A 、D 的坐标及直线EF 的解析式，在直线EF 上求点P ，使||DP AP -的值最大的方法：作点A 关于直线EF 对称的点B ，作直线DB 交直线EF 于点P ，连结AP 。

∵点A 和点B 关于直线EF 对称，∴PA ＝PB ，要使||DP AP -最大，即是使||DP BP -最大，由三角形两边之差小于第三边得，当D 、B 、P 在同一直线上时||DP BP -的值最大．∴点P 即为所求的点。

①作点A 关于直线EF 对称的对称点B ，利用直线AB ⊥直线EF 及点的A 坐标求直线AB 的解析式；②利用方程组求直线AB 及直线EF 的交点C 的坐标；③利用中点坐标公式求点B 的坐标；④利用B 、D 坐标求直线BD 的解析式；⑤利用方程组求直线BD 及直线EF 的交点P 的坐标；14、角平分线的性质：如图：若AD 平分∠BAC ，则有：15、三角形相似的分类方法：若∠A=∠D 时，要使△ABC ∽△DEF ，则分为两种情况⑴ ⑵16、已知梯形三点坐标，求第四点位置的分类方法：⑴当AD ∥BC 时，在直线AD 上；⑵当BE ∥AC 时，在直线BE 上；⑶当CF ∥AB 时，在直线CF 上；17、已知平行四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为A （A x ，A y ）、B （B x ，B y ）、C （C x ，C y ）、D （D x ，D y ），则它们的坐标分别满足以下关系：⑴当以AB 为对角线时：则AB 的中点和CD 的中点是同一个点，由中点坐标公式可知:，即；⑵当以AC 为对角线时：则AC 的中点和BD 的中点是同一个点，由中点坐标公式可知:，即；⑶当以AD 为对角线时：则AD 的中点和BC 的中点是同一个点，由中点坐标公式可知:，即；18、若抛物线c bx ax y ++=2及x 轴交于A 、B 两点，则 ⑴21x x OB OA •=•；⑵两交点间的距离为：()2212121244b ac AB x x x x x x a-=-=+-= 19、以点P （a ，b ）为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=考点02：直角三角形1、（2010湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O （0，0），A （4，0），C （0，3），点P 是OA 边上的动点（及点O 、A 不重合）．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．（1）设P （x ，0），E （0，y ），求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；（2）如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．解：（1）由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．∴．即． ∴()()4034314312<<+-=-=x x x x x y ．且当2=x 时，y 有最大值31．（2）由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P （1，0），E （0，1），B （4，3）．设过此三点的抛物线为c bx ax y ++=2，则 ∴，，1=c 。