s y * 为产出对储蓄率的弹性, y * s k * f ' k * 为k k * 外产出对资本的弹性. f k *
5.1 储蓄率变动对产量的长期影响
k * f ' k * aK k * s y * 将 用aK k * 表示, 于是有, . f k * y * s 1 aK k * 如果市场是竞争性的,那么,在平衡增长路径上,资本获得 的总收入为k * f ' k * . 如果资本获得其边际产品f ' k * , 那么, 平衡增长路径上资 本收入占总收入的份额为aK k * . 在大多数国家, aK k * 大约为1 3.如果我们将其作为aK k * 的估计值, 则产出的储蓄率弹性为1 2. 通过数据计算,可知, 储蓄率的显著变化对于平衡增长路径 上的产量水平只有较小的影响.
4 储蓄率变化的影响
• 1、对产量的影响：储蓄率s的增加会使实际投 资曲线向上移动,因此k*上升，但到达新的k*值 后，它又将保持不变。 • 若k不变，则Y/L以速率g增长。若k递增，则Y/L 同时由于A和k的增长而增长，这时，增长率超 过g。但到达新的k*值后，增长率又是g了。
• 因此，储蓄率的一个永久性增加只能产生每工人平均 产量增长率的暂时性增加。K在一定时期内增加，但最 终将增加到一定水平，在这一水平上增加的储蓄将全 部被用于维持k的较高水平。
1 2 3 4
5.1 储蓄率变动对产量的长期影响
将 4 式进行两个变化 : 其一是, 两边同乘 s y * ; 其二是, 应用sf k * n g k *,以替代s. f ' k * f k * s y * s 于是 : y * s f k * n g sf ' k * k * f ' k * f k * 注: k * f ' k * 1 f k *
第二章
索洛—斯旺模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 模型的假设； 资本存量的动态方程； 平衡增长路径(稳态)； 储蓄率变化的影响、资本积累的黄金律； 定量分析：储蓄率变化； 索洛模型与增长理论的中心问题； 经验应用。
• 重点：资本存量的动态方程、平衡增长路径、索 洛模型与增长理论的中心问题。

1
, 0,1
中的规模报酬不变假设.将生产函数改写为密集形式.
cAL
1
c c1 K AL
1
cF K , AL
K K f k f ,1 k . AL AL 容易验证 : f ' k 0, f '' k 0
1 模型的假设
• 1、投入与产出：①生产函数的形式为Y(t)=F[K(t), A(t)L(t)]。资本K、劳动L、知识A(或称“劳动有效 性”)为投入，将各种投入结合在一起，即可以生产出 产品Y。 • ②时间不直接进入生产函数，仅当投入随时间发生变化 时，产量才随时间发生变化。 • ③AL可称为有效劳动，以此种形式引入的技术称为 “哈罗德中性”技术。本模型采用“哈罗德中性”技术。 • 注：如果Y=F(AK, L)，则技术进步为资本增进型；如 果Y=AF(K, L)，则技术进步为希克斯中性。 • ④所考虑的经济体是封闭的，在一个封闭经济中，产出 等于收入，投资额等于储蓄额(S=I)。
5.2 收敛速度 k aK k * 1 n g k k *
8
在平衡增长路径邻近,每单位有效的平均资本 向k * 收敛的速度与k 和k * 的距离 k k * 成比例.
8 式可重写为 : k t k * e k 0 k * 同理 : y t y * e 1 a n g t y 0 y *
f
s2f s0f
s1f
k*2 k*1 k*0 动态无效率区域
5 定量分析：储蓄率变化
5.1 储蓄率变动对产量的长期影响
储蓄率上升对产量的长期影响为 : k * s, n, g , y * f ' k * s s * 0定义的,因此, k *满足 : 由于k 是由k sf k * s, n, g , n g k * s, n, g , f k * k * 将 2 式对s求导, 整理得 : s n g sf ' k * 将 3 式代入 1 式: f ' k * f k * y * s n g sf ' k *
2 k的动态方程
• 将有效劳均总投资与持平投 次表示为k的函数。可得右上 图。 • 右上图中，由于f(0)=0，因此， 当k=0时，实际投资与持平投 资相等。 • 稻田条件意味着当k=0时， f‘(k)很大，因而，实际投资曲 k 线陡于持平投资曲线。 • 稻田条件也意味着k很大时， f‘(k)趋近于0。 • 随着实际投资曲线变得平坦， 两条曲线最终将相交，并且， 只相交一次。
2 k的动态方程
• 2、k的动态方程的涵义：左边表示每单位有效劳 动的平均资本存量的变动率； • 右边第一项表示每单位有效劳动的平均实际投资； • 右边第二项是持平投资。为了防止k下降，必须 进行一些投资，其原因是：①现有的资本有折旧 (бk)，必须补足以防止资本存量下降；②有效劳 动的数量是增长的。由于有效劳动以n+g增长， 所以，资本存量也必须以n+g增长以保持k稳定。
2 k的动态方程
1.索洛模型的关键方程 : k t sf k t n g k t 推理:
K t 对 k t 两边同时取对数, 再对t求导: A t L t k t K t A t L t sY t K t g n k t K t A t L t K t sf k t sY t g n g n k t A t L t k t
k 实际投资与持平投资
k*
k
索洛模型中k的相位图
3 平衡增长路径(稳态)
• 3、相位图表明，不管k从何处开始，它都向k*收敛。 • 当k=k*时，模型中各变量如何变动？ • 索洛模型意味着，不管出发点如何，经济都会向一平 衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，该模型中的每 个变量的增长率都是常数。在该路径上，每工人平均 产量的增长率仅仅决定于技术进步。 • 索洛模型的平衡增长路径符合卡尔多所描述的关于经 济增长的主要求特征事实。就大多数工业化国家而言， 劳动、资本、产量的增长率为常数；产量与资本的增 长率大致相等，从而资本——产量比近似为常数，且 大于劳动增长率。
1 模型的假设
• ③稻田条件：随着资本或劳动趋于零，其边际产品趋于 无穷大；随着资本或劳动趋于无穷大，其边际产品趋于 零。稻田条件的作用是保证经济的路径不发散。
稻田条件 : lim f ' k , lim f ' k 0
k 0 k
注:思考:考虑CD生产函数F K , AL K AL F cK , cAL cK
1 模型的Leabharlann 设• 2、关于生产函数的假定：①规模报酬不变。两 个自变量同乘以任意非负常数，产量按同比例变 动。F(cK, cAL)=cF(K, AL)。 • 规模报酬不变包括两层意义：其一，经济足够大， 从而专业化收益已被穷尽，其二，其它投入品约 束(如：土地)相对不重要。 • 定义k=K/AL, y=Y/AL, f(k)=F(k, 1), 则有y=f(k)。 • ②f(k)满足f(0)=0，f’(k)>0, f’’(k)<0, 这意味着资 本的边际产品是正的，但随着资本的增加而递减。

1 模型的假设
• 3、三种投入品变动的假设： • ①劳动和知识以不变速度增长，L(t)= L(0)ent或 dL(t)/dt= nL(t)， A(t)= A(0)ent或dA(t)/dt= gA(t) 。 • ②储蓄率s是外生的，现存资本的折旧率为б ， 于是，dK(t)/dt=sY(t)-бK(t)。 • 4、其它假设：只有一种产品、没有政府、就业 波动被忽略，等等。
5.2 收敛速度
我们考虑k以多快的速度趋近于中k *. 由k t sf k t n g k t
5
可知, k决定于k , 即k k k .如果k k *, 则k 0. 因此, 在k k * 处对k k 求一阶泰勒近似, k k k k * 得: k k k k *
4 黄金律和动态无效率
• 如果s在黄金律之上，则 s的减少，增加了稳态人 均消费，而且提高了转 移过程中的人均消费。 这意味着人均消费在所 有时点都可以通过降低 储蓄率而得以提高。因 此，一个高于黄金律的s 是动态无效率的（过度 储蓄）。 • 如果s低于黄金律，则s 的增加提高了稳态人均 消费，但降低了转移过 程中的人均消费。其合 意性依赖于家庭在当前 消费与未来消费之间如 何置换。
6
5.2 收敛速度
就 5 式对k 求导,并在k k * 处赋值 : k k sf ' k * n g k k k *
n g k * f ' k * n g f k * aK k * 1 n g 7 注 : 第二行使用了sf k * n g k *, 第三行使用了aK k * 的定义. 将 7 代入 6 式,得:k aK k * 1 n g k k *