2.2
1 定义R t
t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束
0
r t d ,
Rt
含义 : 在0期投资的1单位产品在t期产生e 反之, t期1单位产品在0期的价值为:e 家庭的预算约束为 :
Rt Rt
单位的产品,
.
L t K 0 t Rt L t t 0 e C t H dt H t 0 e A t w t H dt 对上式用有效劳动进行正规化,并化简 :
e dt
nt
2.2
家庭的最大化问题
1
U A 0 B 其中 : B A 0

1
L 0 n 1 g t c t e dt H t 0 1 c t dt 1
1
t 0
e
t
2
1
L 0 , n 1 g 0 H
家庭的问题是, 在预算约束下选择c t 的路径 以最大化一生效用.
1
2.3
家庭行为
我们用目标函数 1 和
预算约束 2 来构建拉格朗日函数: L B e
t 0 t
c t dt + 1
t R t R t n g t n g t k 0 e w t e dt e c t e dt t 0 t 0 家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
1
模型的假设
• 1、哲学基础假设：代际利他主义。 • 2、厂商： • ①有大量的厂商，每一厂商的生产函数为Y=F(K, AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬 不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润 均归家庭。


t 0
e
Rt
c t e
n g t
dt k 0 e
t 0
t
Rt
w t e
n g t
dt
1
2.2
家庭的最大化问题
以极限形式重写预算约束 初始资本+储蓄现值 :
s L t K 0 Rt lim e w t c t A t dt 0 t 0 s H H s期家庭的资本持有量为 : s K s L t R s K 0 R s R t e e w t c t A t dt t 0 H H H R s K s 于是, 预算约束可简写为 : lim e 0 s H 含义 : 家庭资产持有量的现值极限不能为负.
n 1 g 0可保证一生效用不发散.
2
家庭与厂商的行为
2.1 厂商的行为
F K , AL 资本的边际产品为 : ,即 : f ' k . K t时的真实利率为 : r t f ' k (t ) . 有效劳动的边际产品为: F K , AL AL t时的每单位有效劳动的真实工资为 : w t f k (t ) k t f ' k (t ) . 一个工人在t时的劳动收入为:A t w t . ,即 : f k kf ' k .
1
• • • • • • •
模型的假设
3、家庭： ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； ⑤不存在折旧； ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以 最大化一生效用。
1
t
t 0
e e
t
C t 1 A 0
1
L t dt H e c t 1
1 gt
1
1
t
t 0
L 0 e dt H
nt 1
A 0
1
L 0 t e e H t 0
1 gt
c t 1
1
模型的假设
Cu '' C 定义为u 的相对风险回避系数, 与C无关. u 'C
反映了家庭在不同时期转换消费的愿望. 越小, 随
着消费上升, 边际效用下降越慢, u ' 0, u '' 0, u ''' 0 . 家庭越愿意消费随时间变动. 可以证明, 任意两时点之间消费的替代弹性为为1 . 即期效用函数的另三个特点 : 不管的值为何,消费的边际效用恒为正 u ' 0 ; 当 1时,该效用函数可简化为lnC;
模型的假设
⑦家庭效用函数的形式为 : L t U e u C t dt t 0 H C t 为t时每一家庭的消费, u 为即期效用函数, u C t L t H 即期效用函数的形式为:
1
为t时家庭即期总效用,为贴现率.
C t u C t , 0, n 1 g 0 1
即 : lim e
s
R s
e
n g s
k s 0
2.2
2
1
家庭的最大化问题
1 1
再看目标函数t A 0 e c t 1 1 1 nt 将上式和L t =L 0 e 代入家庭目标函数: U