公选课《非线性分析选讲》欧柳曼副教授第一讲：线性科学概要主要内容1、线性关系的基本概念，线性关系的表达，线性关系的判断2、处理线性问题的方法3、线性化处理4、线性观的局限性引言●认识规律：简单到复杂例如：物理学家首先考察没有摩擦的理想摆（图1-1）、理想斜面实验（图1—2）、没有黏滞的理想流体（图1—3），温度梯度很小的热流等；图1—1 理想摆实验在墙上挂一个以锁为摆锤的摆（悬挂点离开墙尽可能远一点），使摆锤从某一偏角的位置释放，观察摆锤达到的高度。

然后用一根细木棍或毛线针垂直于墙壁顶在悬挂点正下方的一定位置上，释放摆锤，使摆线扫过平衡位置时受到木棍或毛线针的阻挡而改变原来的运动路径，如图1—1，观察摆锤达到的高度。

通过重复实验表明，当阻力很小的时候，图1—2 理想斜面实验找一张较长的硬纸板和一本硬封面的练习本，按图1－2所示的方法利用几本书将硬封面的练习本垫成固定的斜面，再使硬纸板与斜面的下端对接，分别使硬纸板处于图中A、B、C、D的状态。

实验时将一节5号干电池从固定斜面的同一高度E处释放，观察干电池的运动情况。

由实验你能得到什么结论吗？假想:如果设想没有摩擦，让小球从斜面滚下，观察它在对接斜面上的运动情况.推理:a. 小球将会达到滚下前的高度.b. 如果对接斜面倾角越小，小球在斜面上保持运动的距离越远.c. 如果对接斜角倾角为零，成为水平面，小球将以恒定速度永远运动下去，如演示：伽利略理想斜面实验伽利略理想斜面实验1图1—3 粘滞流实验库仑用液体内悬吊圆盘摆动实验证实流体存在内摩擦说明：①黏性产生的原因是由于分子间的引力②理想流体不表现出黏性③静止流体不表现出黏性④如果没有摩擦，那么曲线呈现的是周期性图像。

●近代自然科学的产生和发展也是从研究线性系统这种简单对象开始的。

1、线性关系是指量与量之间的正比关系。

在数学表达上就是线性函数：y ax b =+(,a b 为常量)在直角坐标系里，这是用一根直线表征的线性关系，如图这是最简单的一维线性关系，二维或二维以上的线性关系可以用线性组合，线性不等式，线性方程等来表达，判断的依据就是表达式中项的最高次幂为1。

一、线性关系的基本概念z ax by =+()a b 和为常量112233u a x a x a x =++123()a a a 其中,和为常量等等。

在数学上，主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。

如果算子Y 满足：⎩⎨⎧=+=+)()()()()(u Y u Y v Y u Y v u Y αα其中，α为常数，u、v为任意函数，则称算子为线性算子。

否则称为非线性算子。

线性系统中部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解。

线性理论是研究线性系统的理论，主要包括：牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论和量子力学理论等，它有成熟的数学工具，如线性方程、曲线，以及微积分等数学方二、处理线性问题的方法叠加原理是处理线性问题的依据，线性代数中所讲的线性组合就是其一，而我们常说的“线性运算具有对加法和数乘运算的封闭性”就是对叠加原理的通俗表达。

所以选修这门课程最好是具备线性代数的基础知识。

叠加原理(或叠加性质或可加性)在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。

例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。

叠加原理适用范围非常广泛，数学上线性方程，线性问题的研究，经常使用叠加原理。

“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成反应是由每个刺激单独产生的反应之和。

”即：如果输入A 产生反应X，输入B 产生Y，则输入A+B 产生反应(X+Y)。

用数学的话讲，对所有线性系统F(x)=y，其中x 是某种程度上的刺激（输入）而y 是某种反应（输出），刺激的叠加（即“和”）得出分别反应的叠加。

在数学中，这个性质更常被叫做可加性。

在绝大多数实际情形中，F 的可加性表明它是一个线性映射，也叫做一个线性函数或线性算子。

叠加原理适用于任何线性系统，包括代数方程、线性微分方程、以及这些形式的方程组。

输入与反应可以是数、函数、向量、向量场、随时间变化的信号、或任何满足一定公理的其它对象。

注意当涉及到向量与向量场时，叠加理解为向量和。

三、线性化处理方法线性化处理的方法很多，如在微积分中有种常用的技巧，对于幂函数和指数函数常常用取对数的方法是使之简化，因为对数运算可以把幂指运算转化为加法和乘法运算，这就转换成了我们更熟悉、更擅长的问题。

还可以运用微分中值定理（泰勒公式的特殊情形）可以将非线性函数线性化（一类近似处理），曲线（线性）拟合方法，线性回归分析等等。

例1、（取对数法）对by ax =等号两边取自然对数，得ln ln ln y a b x=+ln ,ln Y y X x ==ln Y a bX=+令得这是一个线性函数，这样我们就完成了线性化处理。

例2、在做曲线拟合时，常用的是最小二乘法（method of least squares）。

线性拟合很简单，非线性模型的拟合就难多了。

为了降低拟合难度，很多时候我们可以把模型转换为线性的形式。

利用matlab软件来做拟合（目前其它软件也有提供曲线拟合的工具）对于函数b y ax =x ，y 为需要拟合的数据，用数组方式输入；n 表示多项式的最高阶数，特别地，当n=1时可以省略；输出参数p 为拟合多项式的系数。

调用格式为p= polyfit(x,y,n)，其中：也可以用非线性拟合函数polyfit 来拟合，实例：Nu11.618.123.526.932.236.839.043.2 Re352060508400997012520148101590018080用经验模型Re b=对表格中的的数据进行拟合，Nu a确定模型中的参数a，b。

令，则,ln Rey Nu x==lny a bx=+以下为程序段：>> Re=[3520 6050 8400 9970 12520 14810 15900 18080]’; >> Nu=[11.6 18.1 23.5 26.9 32.2 36.8 39.0 43.2]‘;>> y=log(Nu)例3、分段线性化法通过把非线性特性作分段线性化近似处理来分析非线性系统的一种方法。

把非线性特性曲线分成若干个区段，在每个区段中用直线段近似地代替特性曲线，这种处理方式称为分段线性化。

在分段线性化处理后，所研究的非线性系统在每一个区段上被近似等效为线性系统，就可采用线性系统的理论和方法来进行分析。

将各个区段的分析结果，如过渡过程曲线或相轨迹，按时间的顺序加以衔接，就是所研究非线性系统按分段线性化法分析得到的结果。

说明分段线性化法的原理和分析步骤的一个例子是简单非线性电路系统。

电路由电阻R 和铁芯线圈L 串接组成，通过开关接入一个直流电压源。

根据电路原理可知，描述这个电路在开关闭合后电流增长过程的运动方程是一个非线性微分方程：简单非线性电路()diL i Ri Edt +=式中i 表示电流, R 表示电阻, L (i )表示铁芯线圈的非线性电感,为i 的函数。

非线性电感可表示为()di L i Ri E dt+=()d L i k diφ=其中k 为常数,磁通φ和电流i 之间的关系具有图2所示的非线性特性。

电路的初始电流为i (0)=0，而在到达稳态时电路的稳态电流为I (∞)=E /R 。

在采用分段线性化法来分析时,先在电流值的有效区间[0,i(∞)]内，将非线性特性分成N（图中N=3）个区段，且在每个区段内用直线近似代替曲线。

在定出每个直线段和水平线的交角θ0、θ1、θ2后，可知相应于每个区段的等效线性电感值为L0=K0tgθ0、L1=K1tgθ1和L2=K2tgθ2,其中K0、K1、K2为不同的常数。

因此，在每一个区段,电路的运动方程都是线性的：区段Ⅰ：0≤i＜i1区段Ⅱ：i1≤i＜i2区段Ⅲ：i2≤i＜i(∞)这些线性微分方程可用线性分析方法求解，其分析结果为区段Ⅰ：区段Ⅱ：区段Ⅲ：式中时间t 1和t 2的值可由区段Ⅰ和Ⅱ的电流表达式定出：和这一非线性电路按分段线性化法分析的解就是三个区段内的分析结果在时刻t1和t2上衔接所得到的运动过程。

图1—6 非线性特性曲线分段线性化法的分析精度和计算复杂性取决于系统非线性程度的高低。

对于具有折线形状的非线性特性，分段线性化法不会引入分析误差，且计算上也不会增加复杂性。

对于非线性程度较低的系统，分段线性化法具有比较好的分析结果。

对于非线性程度高的系统，原则上分段线性化法仍可适用，但计算复杂性增加，而分析准确度则取决于线性化的区段数的多少。

四、线性观的局限性由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。

因而在经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。

理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。

经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。

从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。

线性科学在理论研究和实践上都有极其光辉的成果，迄今许多令人注目的重大理论和技术创造都是线性科学的贡献。

但在线性科学成功发展的同时，也在自然观上形成了一种线性观，形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。

由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。

线性观掩盖了世界，特别是掩盖了宏观复杂现象领域的真实图景。

客观世界被看成是一种以线性关系为基本特征的对象集合，世界本质上是线性的，科学的对象世界被描绘成一个线性叠加的世界，没有间断、没有突变、没有分叉、也没有混沌。

世界的图景是简单的，更是单调的。

然而20世纪70-80年代，分形、混沌等探索所刮起的“非线性风暴”，横扫了线性观的各个角落，将过去颠倒的认识重新颠倒了过来。