2006年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ）A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒. 3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim 20-=-→xxx x C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（ ）A. ∞B. 2C. 3D. 5解：B nnn n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim .5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则 常数=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：B a a a ae xe xf ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ，则=--+→xx f x f x )1()21(lim 0（ ） A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '解：xx f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→C f xf x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim2007. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（ ）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2） 解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dxdy（ ）A. 2tB. t 2C.-2tD. t 2-解： D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.设2(ln )2(>=-n x x y n ，为正整数),则=)(n y （ ）A.x n x ln )(+B. x 1C.1)!2()1(---n n x n D. 0解：B xy x y x x y n n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x x x x y （ ）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(2332. 11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒. 12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞内 （ ）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （ ） A.C e F e x x ++--)( B. C e F x +-)( C. C e F e x x +---)( D. C e F x +--)( 解：D C e F e d e f dx e f e x x x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且x e x f =-')12( ，则 =)(x f （ ）A. C e x +-1221 B. C ex ++)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x +-)1(212 解：B C e x f ex f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15. 导数=⎰batdt dx d arcsin （ ）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D. 211x-解：⎰b a xdx arcsin 是常数，所以 B xdx dx d ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是 （ ）A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx 解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为 （ ）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-ba dx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-b adx x g x f |)()(| 解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （）A. 2B. 3C. 4D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.19.设yxy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(.20. 设方程02=-xyz e z 确定了函数),(y x f z = ，则xz∂∂ = （ ）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解： 令xy e F yz F xyz e z y x F z z x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222. 21.设函数xyy x z +=2 ，则===11y x dz （ ）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2解：222x ydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内 （ ） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x y z x y x z ⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zyz 是极大值A ⇒. 23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域 ，则=⎰⎰Ddxdy（ ）A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 00(),(，常数）的积分次序后可化为（ ）A. ⎰⎰aydx y x f dy 00),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解： 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤= B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D为（）A. x y x 222≤+B. 222≤+y xC. y y x 222≤+D. 220y y x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（ ）A. 2B.1C. -1D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L .27.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）A ．∑∞=1sinn nπ B ．∑∞=-1sin)1(n n nπC ．∑∞=-12sin)1(n nn πD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinn n ππ∑∞=π12sinn n 收敛C ⇒. 28. 设幂级数n n n n a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cosC. C y x =sin sinD. C y x =cos cos解：dx xxdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程x xe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为 （ ）A. x e b ax x y -+=*)(B. x e b ax x y -+=*)(2C. x e b ax y -+=*)(D. x axe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xx x x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim 2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+= . 34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37.⎰-=+ππdx x x )sin (32 _________.解：3202sin )sin (323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a .40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y 22=中的2y 换成22y z +，即得所求曲面方程x y z 222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则=∂∂∂yx z2_________. 解：⇒+=∂∂y x y xzsin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂. 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( .43. 函数2)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f . 44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________. 解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n x n x n x n x , )22(≤<-x .45.通解为x x e C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分） 46．计算 xx e x xx 2sin 1lim 3202-→--. 解：20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222xe x xe x x e x xx ex x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.求函数x x x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy.解：取对数得 ：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：x xx x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x +++++='x x x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx 224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdx x x tx t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+102)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x ⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x .50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yzx z ∂∂∂∂,.解：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yvv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成. 解：积分区域如图06-1所示， 可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.所以 ⎰⎰⎰⎰==1222xx Dydy x dx ydxdy x I10310323)2(10510421022====⎰⎰x dx x y dx x xx .52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）. 解： 令t x =-1，级数化为 n n nt n∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim 1)3(1)3(1limlim 11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nn n n nn n n n n n a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xxy x y -=+'，这是一阶线xx性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2x C y =. 设非齐次线性微分方程的通解为2)(x x C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xCx y +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分） 54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x x C （千元），乙厂月生产成本是3222++=y y C （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）. 则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元. 55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。