三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为：
012
2
11
2
::H x r H x r r ==+
其中，1r 和2r 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。

若似然比检测门限为η，求贝叶斯判决表示式。

解 假设0H 下，观测信号x 的概率密度函数为
1/2
201(|)exp 22x p x H π⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
假设1H 下，22
12x r r =+，而1
2
(0,1),(0,1)r N r N ，且相互统计独立。

大家知道，
若(0,1)k r N ，且(1,2,
,)k r k N =之间相互统计独立，则
2
1N
k k x x ==∑
是具有N 个自由度的2
χ分布。

现在2N =，所以假设1H 下，观测信号x 的概率密度函数为
22/21
12/22
1(|)exp()
2(2/2)2
1exp(),022
x p x H x x
x -=-Γ=-≥
当0x <时，1(|)0p x H =。

于是，似然比函数为
1/2210exp ,0
(|)()222(|)0,
0x x x p x H x p x H x πλ⎧⎛⎫
⎛⎫-≥⎪ ⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎝⎭⎪
<⎩ 当似然比检测门限为η时，判决表达式为
1
1/22
0exp ,0
222,
0H H
x x x H x πη⎧⎛⎫>⎛⎫⎪-≥⎪ ⎪ ⎪<⎝⎭⎨⎝⎭⎪⎪<⎩成立 对0x ≥的情况，化简整理得判决表达式为
1
1/22
22ln H H
x x ηπ⎡⎤
>
⎛⎫-⎢⎥ ⎪<⎝⎭⎢⎥⎣⎦
四、（15分）已知被估计参量θ的后验概率密度函数为
2(|)()exp[()],0p x x x θλθλθθ=+-+≥
（1）求θ的最小均方误差估计量^
mse θ 。

（2）求θ 的最大后验估计量^
map θ 。

解 （1）参量θ的最小均方误差估计量^
mse θ是θ的条件均值，即
^
0220
221
(|)()[()]1()()2
,mse p x d x exp x d x x x x θθθθ
λθλθθ
λλλλ
∞
∞
+==+-+=++=
≥-+⎰⎰
^
0,mse x θλ=<-
（2）由最大后验方程
^ln (|)
|0map p x θθθθ
=∂=∂ 得
^2[ln()ln ()]1
()|0
map
x x x θθλθλθθ
λθ
=∂
++-+∂=-+=
解得
^
^
1
,0,
map map x x x θλλθλ
=
≥-+=<-
七、（15分）若对未知参量θ进行了六次测量，测量方程和结果如下：
182222202384404384n θ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
设初始估计值和估计量的均方误差分别为：^
2
000,θε==∞ 试用递推估计求
θ的线性最小二乘估计量^^
1def s k θθ=和估计量的均方误差
^
12
2(1,2,
,6)s
def
k k θε
ε==；并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。

解 我们知道，线性最小二乘估计量的构造公式为
^
1s θ=H H H x T -1T ()
而单参量θ的线性最小二乘递推估计的公式为
22121
12^^
^
11[()]()
k k k k k k
k k k k k k h K h K x h εεεθθθ-----=+==+-
这样，能够算出1,2,,6k =的非递推估计结果和递推估计结果，如下表所示。