复数基础练习题一、选择题1．下列命题中：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．14．(2011年高考湖南卷改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－15．复数z ＝3＋i 2对应点在复平面( )A ．第一象限内B ．实轴上C ．虚轴上D ．第四象限内6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝37．复数z ＝12＋12i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－IC ．－3－iD ．－3＋i9．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－I C ．－34－i D.34＋i10．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i11．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )A ．5－6iB ．3－5iC ．－5＋6iD ．－3＋5i12．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i13．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( )A.115 B.3I C.115＋3i D.115＋23i15．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A ．1－3iB ．11i －2C ．i －2D ．5＋5i16．复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．5 B. 5 C ．6 D. 617．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0B ．1 C.22 D.1218．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．519．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i ∈S20．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝() A ．3－i B ．3＋I C ．1＋3i D ．321．化简2＋4i (1＋i )2的结果是( ) A ．2＋i B ．－2＋I C ．2－i D ．－2－i22．(2011年高考重庆卷)复数i 2＋i 3＋i 41－i＝( ) A ．－12－12i B ．－12＋12I C.12－12i D.12＋12i 23．(2011年高考课标全国卷)复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i 24．i 是虚数单位，(1＋i 1－i)4等于( ) A ．i B ．－I C ．1 D ．－125．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋IC ．2＋2iD ．3＋i26．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z等于( ) A ．i B ．－i C ．±1 D ．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |二、填空题28．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．29．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．30．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.31．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．32．已知f (z ＋i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.33．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________.35．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．36．已知复数z 满足|z |＝5，且(3－4i)z 是纯虚数，则z ＝________.答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，从而由z 21＋z 22＝0⇒/ z 1＝z 2＝0，故②错误；在③中若x ，y ∈R ，可推出x ＝y ＝2，而此题未限制x ，y ∈R ，故③不正确；④中忽视0·i ＝0，故④也是错误的．故选A.2． 解析：选D.∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos2<0. 故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z |＝|1－a i|＝ a 2＋1＝2，∴a ＝±3.而a 是正实数，∴a ＝ 3.4．解析：选D.a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5． 解析：选B.∵z ＝3＋i 2＝3－1∈R ，∴z 对应的点在实轴上，故选B.6．解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12. 7． 解析：选A.∵复数z 在复平面上对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点位于第一象限，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝02n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝－1，∴z ＝3－i. 9．解析：选D.设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1. ∴z ＝34＋i. 10．解析：选D.由z ＋i －3＝3－i ，知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i ＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i ＝5－6i.12．解析：选C.OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.13． 解析：选D.∵z 1＋z 2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i ＝1－i ，∴z 1＋z 2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝5＋3i ，即a ＋a 2＋b 2＋b i ＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧ b ＝3a ＋a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ＝115. ∴z ＝115＋3i. 15．解析：选D.先找出z 1－z 2，再根据求函数值的方法求解．∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i.∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z 1－z 2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝ (cos θ－sin θ)2＋4＝5－2sin θcos θ＝5－sin2θ≤ 6.17．解析：选C.|z ＋1|＝|z －i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z ＋i|＝|z －(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为22. 18解析：选B.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，又|z －2－2i|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝(x －2)2＋(y －2)2＝(x －2)2＋1－(x ＋2)2＝1－8x .而|x ＋2|≤1，即－3≤x ≤－1，∴当x ＝－1时，|z －2－2i|min ＝3.法二：利用数形结合法．|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.19．解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∈/S ，2i＝－2i ∈/S ，故选B. 20．解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.21．解析：选C.2＋4i (1＋i )2＝2＋4i 2i ＝1＋2i i ＝2－i.故选C. 22．解析：选C.i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i 1－i ＝(－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i. 23．解析：选C.法一：∵2＋i 1－2i ＝()2＋i ()1＋2i ()1－2i ()1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 法二：∵2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i ()1－2i 1－2i＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 24．解析：选C.(1＋i 1－i )4＝[(1＋i 1－i )2]2＝(2i －2i)2＝1.故选C. 25．解析：选A.∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.故选A.26．解析：选D.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 2＋y 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±2. ∴zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 法二：∵z ＋z ＝4，设z ＝2＋b i(b ∈R )，又z ·z ＝|z |2＝8，∴4＋b 2＝8，∴b 2＝4，∴b ＝±2，∴z ＝2±2i ，z ＝2∓2i ，∴z z ＝±i. 27．解析：选D.∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确；对于D ，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 正确．二、填空题28．解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3,2m )，∴m －3＝2m ，即m －2m －3＝0.解得m ＝9.答案：929．解析：∵|z |＝3，∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以O ′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.31．解析：AB →表示OB →－OA →对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知AB →对应的复数是－6－8i.答案：－6－8i32．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则f [a ＋(b ＋1)i]＝3(a ＋b i)－2i ＝3a ＋(3b －2)i ，令a ＝0，b ＝0，则f (i)＝－2i.答案：－2i33．解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i ＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 34．解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5.∴z ·z ＋z ＝6－2i.答案：6－2i35．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：136．解析：∵(3－4i)z 是纯虚数，可设(3－4i)z ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，∴z ＝t i 3－4i，∴|z |＝|t |5＝5，∴|t |＝25，∴t ＝±25，∴z ＝±25i 3－4i＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，z ＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)． 答案：±(4＋3i)。