天水市一中2018级高三第五次考试
数学试题（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合6{|1}2A x Z x =∈≥+，11{|4}42x
B x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}-- D ．{0,1,2} 2．复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5- B ．5 C ．34i -+ D ．34i -
3．图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A ，2A ，⋯，16A ，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )
A ．6
B ．10
C ．91
D ．92
4．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比
51m -=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18︒,24m m -=( ).
A ．4
B ．51+
C ．2
D ．51-
5．已知(1,3)a =-，下列向量中，与a 反向的单位向量是（ ）
A ．(122)3
-， B ．1
3(,)22- C ．1
3(,)22-- D ．13(,)22
6．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）
A ．125
B ．40
C ．16123+
D ．16125+8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若
5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( )
A ．3
B ．32
C ．5
D ．52
9．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（ ）
A ．36种
B ．54种
C ．58种
D ．72种
10．已知数列{}n a 的前n 项和212343
n S n n =++（*N n ∈），则下列正确的是( ) A ．数列{}n a 是等差数列 B ．数列{}n a 是递增数列
C ．1a ，5a ，9a 成等差数列
D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列 11．在四面体ABCD 中，2AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
12．已知函数21log |2|,1()(1)5,1
a x x f x x a x +-≤⎧=⎨-+>⎩ (0a >，且1a ≠)在区间(,)-∞+∞上为单调函数，若函数|()|2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．12,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1313,5520⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
D ．1213,5520⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤-≥01423040y x y x x 所表示的平面区域被直线y =kx 分成面积相等的
两部分，则k 的值为________.
14．函数()1ln x f x x
+=的图像在1e x =处的切线方程为_______. 15．记数列{}n a 的前n 项和为n S 满足142n n S S +=+．且12a =，2log n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =
_____． 16．在()()()()56781111x x x x -+-+-+-的展开式中，含5x 的项的系数是______
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）设函数2()2sin cos 2cos ()4f x x x x π=-+
． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，若02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，3a =
1
c=，求b．
18．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
（1）由以上统计数据，填写下面22
⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
；
临界值表；
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X ，求X 的分布列及数学期望.
19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 点折到P 点，且PC PB =.
（1）求证: PO ⊥面ABCE ；
（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值.
20．（12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长322
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设(3,0)M -，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()MA MB R λλ⋅≤∈恒成立，求λ的最小值.
21．（12分）设函数()x -x
f x =e +ae ,a R ∈. （1）判断()f x 的单调性，并求极值；
（2）若1a =-，且对所有0x ≥都()f x mx ≥成立，求实数m 的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ+=．
（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）已知定点()4,0P ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求PM PN ⋅的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()21f x x =+．
（1）解关于x 的不等式()1g x x ≥-；
（2）如果对x R ∀∈，不等式()1g x c x -≥-恒成立，求实数c 的取值范围．。