2014-2015学年度第一学期期中考试
高三数学试卷（理科）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合13{|()}
x
M y y ==，2{|log (1)}N x y x ==-，则M R N =（ ） A ．（0，1） B ．(]0,1 C ．(1,)+∞ D ．（0，+∞）
2．若120a b <<<，则（ ）
A ．22ab a >
B ．22ab b >
C ．2log ()1ab >-
D ．2log ()2ab <-
3．等差数列{}n a 的通项公式是12n a n =-，其前项和为n S ，则数列
{}n
S n
的前
11项和为( )
A ．－44 (B)－66 C ．－55 D ．55
4．已知函数2()21(0)f x ax ax a =-+<，若12x x <，120x x +=，则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）
A ．1()f x =2()f x
B ．1()f x >2()f x
C ．1()f x <2()f x
D ．与a 的值有关
5．抛物线22y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A ．98
B ．78
C ．9
8-
D ．78-
6．已知向量a 与b 的夹角为o 60，3a =，13a b +=，则b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5
7．已知m 、n 是两条直线，,,αβγ是三个平面，给出下列四个命题： ①若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若,m α⊥,n β⊥m n ⊥，则αβ⊥.
其中真命题是（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．③和④
D ．①和④
8．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()21y f x =+的图像过点()1,2，则()131y f x -=-的图像必过点（ ）
A ．()1,3
B ．()3,1
C ．()2,3
D ．()2,1
9．已知(,1)AB k =，(2,4)AC =，若k 为满足||4AB ≤的一随机整数．．，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）
A ． 14
B ．12
C ．3
7 D ．34
10．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
11．若AB 是过椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一
点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，1k ，2k 分别为直线AM ，BM 的斜率(其中222c a b =-)，则12k k ⋅=（ ）
A ．22c a -
B ．22c b -
C ．22b a -
D ．2
2a b -
12．已知函数3ax y e x =+()a R ∈有大于零的极值点，则( )
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．13a >-
D ．1
3a <-
二、填空题(4×4′=16分)：
13
．在（51
)x 展开式中，1x 的系数是： ；
14．抛物线C ：2y x x =-+与直线l ：10x y --=所围成的平面图形的面积是： ；
15．过P （－1，2）的直线⎩⎨⎧-=+-=t y t
x 4231（t 为参数）与双曲线22(2)1y x --=相
交于A 、B 两点，若C 为AB 的中点，则=PC ；
E F D
I
A H G
B
C E
F D A
B C
侧视 图1
图2 B
E
A
B
E
B B
E
C
B
E
D
16．曲线2cos ρθ=关于直线4
π
θ=-对称的曲线方程为 ．
三、解答题（满分74分）：
17．(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为,,a b c ，已知角
3,A a π==B=x ，ABC ∆的周长为y ． (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域．
18．(12分)一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，从中任取3个，用ξ表示取出的3个球中的最大编号.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望和方差．
19．(12分)直三棱柱111ABC-A B C 中，1AC CC 2,AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC ．
（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；
（2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小； （3）求二面角1A C B A --余弦值的大小．
20．(12分)已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为)0,2(-，而C 的右准线方程为2
3=x .
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若过点)2,0(，斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，
且满足5OA OB ⋅< （其中O 为原点），求实数k 的取值范围.
21．(12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，0,,<∈m R n m
（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求函数)(x f 的单调区间；
（3）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.
22．(14分)已知函数()20y x x =≥的图象上有一列点()111,P x y ，()222,P x y ，
…，(),n n n P x y ，…，以点n P 为圆心的圆n P 与以点n+1P 为圆心的圆n+1P 外切，且均与x 轴相切．若11x =，且1n n x x +<．
（1）求数列{}n x 的通项；
（2）圆n P 的面积为n S ，n n T S =+，求证：4
n T <
.
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
BDBCD ADACA CB
二、填空题
13.-80; 14.43; 15.157; 16.2sin ρθ=-
三、解答题
17.(1)()2
63)0,y x x ππ=++∈;
(2)(
y ∈.
18.(1)
(2) 214
E ξ=; 63
80D ξ=.
19.(1)略; (2)3
π ;
.
20.(1)2
213
x y -=;
(2)(k ∈.
21.(1)36n m =+;
(2)单调递减区间()()2,1,1,m -∞++∞；单调递增区间()2
1,1m +； (3)()43,0m ∈-.
22.(1)1
21
n x n =-;
(2)1n =
时，1n T T =<
1n >
2n ==<=
()1111
1111
42231
41(1)11n n n n T -⎤<+-+-+
+-=+-⎤⎦⎦。