值域的求法习题一．解答题（共10小题）1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．3．求函数的值域：．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；5．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．9．已知f（x）的值域为，求y=的值域．10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．考点：函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。

1457182专题：计算题。

分析：由可求A，由可求B可求解答：解：由题意可得∴A=[2，+∞），∵∴B=（1，+∞），C R A=（﹣∞，2），C R B=（﹣∞，1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2，+∞）∴（C R A）∩（C R B）=（﹣∞，1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）点评：本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．考点：函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。

1457182专题：计算题。

分析：（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）在（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3]上的最值，从而可得函数在（0，3]上的值域．解答：解：（1）因为f（0）=f（4），所以图象的对称轴为x==2，∴b=﹣4，函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3，解f（x）=0，得x1=1，x2=3，因此函数的零点为：1和3满足条件f（x）＜0的x的集合为（1，3）（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数所以函数在x=2时，有最小值为﹣1，最大值小于f（0）=3因而函数在区间（0，3]上的值域的为[﹣1，3）．点评：本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题．只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案．3．求函数的值域：．考点：函数的值域。

1457182专题：计算题；转化思想；判别式法。

分析：由于对任意一个实数y，它在函数f（x）的值域内的充要条件是关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解，因此“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解，求y的取值范围”．解答：解：判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，∴x=0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时，∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根，∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，∴原函数的值域为[1，5]．点评：判别式法：把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求．（2）当二次项系数不为0时，利用“∵x∈R，∴△≥0”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；（4）；（5）（6）考点：函数的值域。

1457182专题：常规题型。

分析：（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+（2）看作是复合函数先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=，再配方法求得μ的范围，可得的范围．（3）可用分离变量法：将函数变形，y===3+，再利用反比例函数求解．（4）用换元法设t=≥0，则x=1﹣t2，原函数可化为y=1﹣t2+4t，再用配方法求解（5）由1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1，可用三角换元法：设x=cosα，α∈[0，π]，将函数转化为y=cosα+sinα=sin（α+）用三角函数求解（6）由x2+x+1＞0恒成立，即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有根求解．解答：解：（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+≥，∴y=3x2﹣x+2的值域为[，+∞）（2）求复合函数的值域：设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]（3）分离变量法：y===3+，∵≠0，∴3+≠3，∴函数y=的值域为{y∈R|y≠3}（4）换元法（代数换元法）：设t=≥0，则x=1﹣t2，∴原函数可化为y=1﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，∴原函数值域为（﹣∞，5]注：总结y=ax+b+型值域，变形：y=ax2+b+或y=ax2+b+（5）三角换元法：∵1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1，∴设x=cosα，α∈[0，π]，则y=cosα+sinα=sin（α+）∵α∈[0，π]，∴α+∈[，]，∴sin（α+）∈[﹣，1]，∴sin（α+）∈[﹣1，]，∴原函数的值域为[﹣1，]（6）判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R由y=得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，∴x=0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时，∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根，∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，∴原函数的值域为[1，5]点评：本题主要考查求函数值域的一些常用的方法．配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法…5．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．考点：函数的值域。

1457182分析：（1）把函数转化成关于tanx的函数，进而求值域．（2）令因为1﹣x2≥0，即﹣1≤x≤1，故可x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值．（3）把原式变成2+，设t=，通过幂函数t的图象即可求出t的值域，进而求出函数y=的值域．（4）令t=x﹣4，即x=t+4代入原函数．得出y关于t的函数，进而求出答案．解答：解：（1）∵==1++4tanx+4=5++4tan2x≥2+5≥9∴函数的值域为[9，+∞）（2）令x=sinα，α∈[﹣，]∴=sinα﹣cosα=sin（α﹣）∵α∈[﹣，]∴α﹣∈[﹣，]∴sin（α﹣）∈[﹣1，]∴的值域为[﹣，1]（3）y==2+令t=，则其函数图象如下如图可知函数在区间[0，1）单调减，在区间（1，3]单调增∴t∈（﹣∝，﹣6]∪[3，+∝）∴y∈（﹣∝，﹣4]∪[5，+∝）即函数y=的值域为（﹣∝，﹣4]∪[5，+∝）（4）设t=x﹣4，x=4+t则==﹣=|+2|﹣|﹣2|∵t=x﹣4≥0∴≥0∴y=∴y∈[0，4]即函数的值域为[0，4]点评：本题主要考查求函数的值域问题．此类题常用换元、配方、数形结合等方法．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．考点：函数的值域。

1457182专题：计算题；分类讨论。

分析：由函数表达式知，y＞0，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．解答：解：数形结合法：y=|x﹣1|+|x+4|=∴y≥5，∴函数值域为[5，+∞）．点评：本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．考点：函数的值域。

1457182专题：计算题。

分析：（1）求二次函数y=﹣x2+x+2的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域．（2）求一次函数y=3﹣2x在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域．（3）求二次函数y=x2﹣2x﹣3在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域．（4）求分段函数y的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域．解答：解：（1）二次函数y=﹣x2+x+2；其图象开口向下，对称轴x=，当x=时y有最大值；故函数y的值域为：（﹣∞，）；（2）一次函数y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；单调递减，在x=﹣2时，y有最大值7；在x=9时，y有最小值﹣15；故函数y的值域为：[﹣15，7]；（3）二次函数y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；图象开口向上，对称轴x=1，当x=1时，函数y有最小值﹣4；当x=﹣1时，y有最大值0；所以函数y的值域为：[﹣4，0）；（4）分段函数y=；当x≥6时，y=x﹣10≥﹣4；当﹣2≤x＜6时，y=8﹣2x，∴﹣4＜y≤12；所以函数y的值域为：[﹣4，+∞）∪（﹣4，12]=[﹣4，+∞）．点评：本组4个题目求函数的值域，都是在其定义域上先求其最值，根据最值，直接写出其值域；它们都是基础题．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．考点：函数的值域。

1457182分析：注意利用22x=（2x）2这个式子，很容易把这个看似不识的函数转化为我们再熟悉不过的二次函数．解答：解：令t=2x，则t＞0，f（x）=（2x）2+2•2x+3=t2+2t+3，令g（t）=t2+2t+3（t＞0），则g（t）在[﹣1，+∞）上单调递增，故f（x）=g（t）＞g（0）=3，故f（x）的值域为（3，+∞）．点评：二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数．而且采用换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范围．9．已知f（x）的值域为，求y=的值域．考点：函数的值域。