《高等数学A(2)》期末复习题
一.填空题(每题3分，共24分)
1.函数)122ln()arccos(2222-+++=y x y x u 的定义域是
2.函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿)1,2,1(=方向的方向导数 为
3.过点)1,2,1(-且平行于直线
1
3121-=-=+z
y x 的直线方程是 4.设y
xe z =，则=∂∂∂y
x u
2
5.设}|),{(222R y x y x D ≤+=，则积分⎰⎰=+-D y x dxdy e )(2
2 . 6.设⎩⎨
⎧≤<+≤<--=.
0,1,0,
1)(2
ππx x x x f ， 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .
7. 已知 2)(=⋅⨯c b a ，则=⋅-⨯+c b a b a
)]()[( . 8. 幂级数∑∞
=-1
4)1(n n n
n
n x 的收敛半径是 .
二.单项选择题：(每题3分，共24分) 1.下列各极限都存在,则(0,0)y f 定义为( ).
A. x x f y x f x ∆∆+-∆+∆+→∆
)0,0()0,0(lim 0
B. x
f x f x ∆-∆+→∆)
0,0()0,0(lim 0 C. x f y x f x ∆-∆+∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 D. x f y f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 2 .函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个一阶偏导数都连续是函数(,)f x y 在该点处连续的( )条件.
A.必要非充分
B.充分必要
C. 充分非必要
D.非充分也非必要 3. 设函数22)(2),(y x y x y x f -+-=的驻点为( ) A. )1,1( B. )1,1(- C. )1,1(- D. )1,1(--
4. 函数)cos(y x x z -=，=dz ( ).
A. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+---
B. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(---+-
C. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+-+-
D. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(----- 5. =⎰⎰-dx y x f dy y 2
10
1
0),(( ).
A. dy y x f dx x ⎰⎰-2
10
1
0),( B.
dy y x f dx y ⎰⎰
-1
010),(2
C. dy y x f dx x ⎰⎰-2
10
1
0),( D.
dy y x f dx x ⎰
⎰+210
1
),(
6. 设S 表示上半球面0 ,4222≥=++z z y x ，则曲面积分⎰⎰S d σ的几何意义是( )
A.上半球体的体积
B. z 平面上圆域0 ,422==+z y x 的面积
C.上半球面0 ,4222≥=++z z y x 的表面积
D. 以上选项都不对 7. 设∑∞
=1n n a 是正项级数，则下列结论正确的是( )
A. 若0lim
=∞
→n n na ，则级数 ∑∞
=1
n n
a
收敛
B. 若存在非零常数λ，使得λ=∞
→n n na lim ， 则级数∑∞
=1
n n a 发散 C. 若级数∑∞
=1n n a 收敛，则0lim 2=∞
→n n a n D. 若级数∑∞
=1
n n a 发散，则存在非零常数λ，使得λ=∞
→n n na lim 8. 微分方程x e x y y y 2444+=+'-''的特解具有形式( ) A. x e Bx A 22+ B. x e Cx B Ax 22++ C. x e Cx Bx Ax 222++ D. x Cxe B Ax 22++
三．（8分） 设函数),(y x z 由方程z xy xyz 2)arctan(=+确定，求x z ∂∂，y
z
∂∂。

四．（10分） 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由22y x z +=与2=z 所围的立体。

五．（10分） 计算⎰⎰∑
zdxdy ，其中∑是由)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三
角形平面的上侧。

六．（8分） 设数列}{n b 满足0>n b ， ,2,1=n ，且级数∑∞
=12
n n a 收敛，证明级数
∑∞
=+-1
2
)1(n n
n n
b n a 绝对收敛。

七．（8分） 修建一座容积为V ，形状为长方体的水池。

已知水池侧壁单位面积的造价是池底每单位造价的2/1，问如何设计长，宽，高使它的总造价最低。

（用拉格朗日乘数法求解）
八．（8分） 计算曲线积分⎰-++C
dy y y x dx x y )sin 3()3(222，C 为曲线2x y =上
从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段。