edx[
xedxdx C]
ex[ xexdx C] ex (xex ex C) Cex x 1
由 ② 得 C = 2, 因此所求曲线方程为 y 2ex x 1.
16. 设函数(x) 连续,且满足 (x) ex
x
(t x)(t)dt
0
解
(x) ex
x
t(t)dt x
D:x2 y 2 R2
(r 2 sin2 r cos R2 r 2 )rddr
D:00rR2 ,
(r3 sin2 ddr r2 cos R2 r2 ddr
D:00rR2 ,
D:00rR2 ,
2 sin 2 d R r3dr
2
cosd
R
r2
R2 r 2 dr
0
0
0
0
注意： 2 sin 2 d 4 2 sin 2 d 4 ,
2(1 3 1 ) 256 32 .
2 2 4 2 2 15 15
x2 y2 4 D : x2 y2 4
5.计算
其中L为圆周
解 参数方程计算, 则
y
o
d s x2 y2 d t
t ax
第二型曲线积分的计算
1. 直接计算法
2. 利用格林公式化为二重积分计算
格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则
df (x) 1 f (x) 1. dx 2x
f(x)
e-
1 dx 2x
(C
1 e
1 dx
2x dx)
- 1 ln x
e 2 (C
1 ln x
e 2 dx)
1
- ln x
e 2 (C
1
x 2 dx)
-1
x 2 (C
2
3
x2)
-1
Cx 2
2
x.
3
3
代入初始条件f(1)=1,得 C 1 ,所以 3
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
yd
z
c
20 d
z Dz
d
xd
x y
c
ab(1
0
z c
2 2
)
d
z
4
3
abc
解法2 利用三重积分换元法. 令
x ar sin cos , y br sin sin , z cr cos
则
J
(x, y, z)
(r, , )
abcr 2
sin ,
:
0 r 1
0
0 2
V d x d y d z J d d dr
1 2 0, 3, 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
14. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: 5 4 0, 特征根 : 1 2 3 4 0, 5 1
原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex (不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
dp 2xdx, p2
1 p
x2
C1 ,
代入f (0) 1,得C1 1,所以
1 1 x2, p
f
(
x)
1
1 x
2
.
再积分，得
f (x) arctan x C2 , 代入f(0)=1,得C2=1,所求函数
f (x) arctanx 1.
13.
的通解.
解: 特征方程 4 2 3 5 2 0, 特征根:
abc r 2 sin d d dr
abc 2 d sin d 1r 2 d r Nhomakorabea4 abc
0
0
0
3
4 .求三重积分
I (x2 y2z)dv
其中是由曲面 2z x2 y2及平面z 2围成.
z 2
o x
y
解 (x, y, z) | x2 y2 4, 1 (x2 y2 ) z 2}.
y
C
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
D
L
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
B o Ax
(利用格林公式)
7. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
I (ex sin y 2y) d x (ex cos y 2)d y L
y L
D
L AB AB
2cos
y
4cos
解 f (x, y)d f ( cos, sin )dd
D
D
o
x
4cos
2
d
2cos
f ( cos, sin ) d
2
x2 y2 2x x2 y2 4x
3. 试计算椭球体
解法1 利用“先二后一”计 算.
的体积 V.
c z Dz
z
a
by
V
d
xd
x2 y2
x2 y2 4
e2
x
dxdy
x2 y2
2 d 0
2 er rdr 1r
2
d
0
1 e rdr 0r
2
d
2 e2 rdr 2e2.
0
0r
s1
y
s2
10.
求微分方程dy dx
1
x
y2
xy 2
满足初始条件y
|x0
1的解
解 原方程化为 dy (1 y 2 )(1 x), 分离变量 ,得 dx
6. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x
a
a
x2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
15.一曲线在点(x, y)处的斜率等于 x y,且经过点(01), 试求
该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy x y
①
dx
y x0 1
②
由 ① 得 d y y x, dx
p(x) 1,Q(x) x,
y
e
pdx[
Qe pdxdx C]
S
Dxy
（上侧正下侧负）
光滑曲面
前侧
（单值）
后侧
P( x, y, z)d y d z P( x( y, z), y, z)d y d z
S
D yz
(前侧正后侧负)
光滑曲面
右侧
Q( x, y, z)d z d x Q( x, y(z, x), z)d z d x左侧
S
D z x (右侧正左侧负)
y x0 1
①
② (C为任意常数)
[2ex x 1].
11. 设曲线积分 yf (x)dx [2xf (x) x2 ]dy在右半平面(x 0)内与路径 L
无关,其中f (x)可导且f (1) 1,求f (x).
解 [由恰当条件 Qx Py列方程解之 ]依题意,有
[yf(x)]y [2xf (x) x2 ]x , 即 f(x) 2f(x) 2xf (x) - 2x,
oA a B x
Q P 2
x y
2d x d y a ex sin 0dx (ex cos 0 2) 0dx
D
0
a2
第二型曲面积分的计算
曲面 曲面 曲面
上侧,下侧
（上侧正下侧负） 前侧,后侧
(前侧正后侧负)
右侧,左侧
小结: 光滑曲面
（单值）
R(x, y, z)d x d y R(x, y, z( x, y) )d x d y
由于(1)中自由项 f (x) e x , 1不是特征根 ,故设
*(x) aex , * (x) * (x) aex , 代入(*)解得 a 1 ,
2
*(x) 1 ex ,
2
(
x)
C1
cos
x
C2
sin
x
1 2
ex
.
17: 设 (x) ex x 0 x( x u ) d u, (0) 0,
f (x) 2 x 1 . 3 3x
曲线12，.设f曲(x线)在积分(L ,f(x))上 [2x二yf次(x可)d微x ,d且y]f
0, (0)
L为xoy平面上任意按段光滑的闭 1, f (0) 1,求f (x).
解 由题设沿闭回路的第二型曲线积分等于零和与路线无关的
定理，知被积函数必满足恰当条件，这里
0
0
4
2
cosd 0.
I 1 R4.
0
4
9.计算
ez dxdy,其中S为锥面z x2 y2
S x2 y2
及平面z 1 及z 2所围成的立体表面外侧 . z s3
解 原式
S1 S2 S3
e x2y2 dxdy
x y 2
2
1 x2 y2 4
x2 y2 1
e dxdy
dy 1 y2
(1 x)dx
积分, 得
arctgy x - 1 x2 C, 2
以y
|x0
1代入求得C
4
,
故所求之解为
11.一曲线在点(x, y)处的斜率等于 x y,且经过点(01), 试求