《建模基础》习题
1.超市进货问题
一家大型超市每天需要储存大量物品以满足顾客的需要。
现在只考虑其中一种物品的销售和进货情况。
（1）假设需求是随机的，不考虑缺货损失的情况下，确定最佳进货策略。
（2）考虑缺货损失情况下的最佳进货策略。
（3）可进一步考虑有替代品的情况下的最佳进货策略。
注：测试数据可以自己设置。
2.城市快速交通线项目问题
随着经济和社会的快速发展，我们不得不面对城市快速交通线项目问题。
城市快速交通线项目的建设与运营涉及公众利益，政府通常要对票价实行管制。
票价的高低影响到公众的利益、项目投资者的利益和政府的财政支出。
因此，应兼顾公众利益、投资者利益和政府的财政支付能力。
要求：
（1）试建立最优票价模型，从而为乘客选择交通工具提供指导。
（2）城市快速交通线项目票价和运量之间存在着相关关系，对于城市快速交通线项目，需要兼顾公众的利益、项目投资者的利益和政府的承受能力。
请建立数学模型，结合运量预测研究票价的合理水平。
（3）当项目的票款收入不足于维持正常运营或不足于使民间投资者获得合理的投资回报时，政府需要采取适当的方式给予投资者以合理的经济补偿。
试分析并确定合理的年经济补偿或一次性的经济补偿。
3.电梯控制问题
学校某楼北楼有两台电梯。
等电梯的人给出要上下的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。
然而，电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上下课的时候，要等很长的时间，所以埋怨声很多。
你能否为电梯设计一个调度方案，减少大家的等待时间，减少师生的不满。
4传染病的疫情分析
假设某直接接触性高危型传染病是经由近距离接触已被传染病人，或在病源存活时间内直接接触受病源感染的物件才有可能感染。
以往研究已有结果显示一个人的人际关系及活动范围大部分是固定不变的，也就是一个人大部分时间会近接触的人都是以前的熟识，到访的地点大多以前曾去过。
而且一个人熟识常往来的亲友数目不多，常去的地点也不太多。
只有一些很小的机会会近距离接触到不熟识的人和去以前较少去过的地点。
请以上述讨论为出发点，建立一个模型，分析一个正在蔓延中的传染病。
在模型建立时可以再参考以下事项：
（1）可以H1N1为实例，搜集相关资料；
（2）可以假设病人受感染后，活动能力及传染别人的几率因发病状况有不同，感染后死亡率也和病人原身体状况有关，感染后一定时间内有很大几率痊愈，痊愈不带感染源；
（3）可以假设首先发病者为境外移入；
（4）得病后假设多数病人会往医院医疗，进入医院后只有院内感染可能，院内感染几率随疫情持续时期有不同；
（5）模型必须可以分析疫情的趋势及主要传染途径等资讯。
5.乒乓球新旧赛制对比分析
自2001年10月1日起，国际乒联改用11分制等新规则。
中国乒乓球老将王家声认为，规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的推广，有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛，有利于它的市场开发和赞助商利益。
11分制的实行，使比赛增加偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜一流选手。
“但这个偶然性应有个度”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选进决赛，那它就不是好规则了。
”乒乓球11分制利弊如何，是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢？
（1）试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析
（2）试对11分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析
（3）综合评价及建议
6.食堂卖饭菜窗口设置问题
学生食堂的卖饭菜窗口个数和同学们吃饭的方便程度有关。
窗口太少，吃饭高峰期学生排队时间很长，浪费时间，引发学生的不满意情绪。
窗口太多，会造成资源浪费，增加食堂成本。
请同学们完成以下问题：
（1）请建立数学模型说明食堂窗口设置是否合理；
（2）给食堂管理部门写一封短信，提出你对改进食堂卖饭菜窗口数量设置的建议。
7.卡车装货优化问题
联合集装箱运输（ACM）是一个卡车公司，它提供昼夜货物运输。
公司有一个调度网，有许多集装箱处理中心（ICPC，以下简称中心）。
在每个中心，进来的货物在卸载口卸载后，到这个中心的货物就认为是收到了。
其他的货物被分到不同的接运门，以准备运到不同的地方。
每个中心有许多卸载口，拖车可以在此卸载。
当拖车数目大于卸载口数目时，进来的拖车将要排队等待，直到有一个门空出来。
一辆拖车可能有几个中心的货物。
对于进入卸载口的拖车来说，只装有当前中心货物的拖车比需要接运的拖车优先级要低。
同样的，接运拖车中，后到的拖车比先到的拖车进入卸载口的优先级要低。
如果需要卸载和装运，不考虑货物的大小和数量，卸载的时间和装运的时间都是2小时。
当接运拖车装满货物后，或是这一天需要运到那个目的地的货物全部运上了拖车，拖车就立即开始向下一个目的地出发。
货物的大小按照拖车容量的百分比计算。
为了使拖车尽量装满，每辆车上的货物尺寸尽量选择一致。
在拖车离开卸载口或接运口，队列中另一辆又进入，这之间不需要时间。
在接运口，拖车永远不会短缺。
为了帮助公司估计网络的效率，请你决定拖车在等待进入卸载口的平均等待时间以及确定哪些货物没有准时到达中间站或目的地。