8.4.3 多跨静定梁的内力及内力图
例 试作图a所示多跨静定梁。
解：AB为基本部分，在竖向荷载作用下CF为基本部分， 层叠图如图b。
各段梁的 隔离体图 如图c。
先算附 属部分； 后算基 本部分； 弯矩图 如图d； 剪力图 如图e。
例 图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的 绝对值相等，试确定铰B、E的位置。 最大正弯矩为MI AB段中点I的弯矩为
Me FS ( x) l
(0 x l )
(1)
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同 AC段
FA
A
Me
FB
B b x
C a x l
m M ( x) x l
CB段
(0 x a )
(2)
m m M ( x ) x m (l x ) l l
(a x l )
(0 x a )
( 2)
FA A
F
FB B b x
Fa M ( x) (l x ) l
(a x l )
C a x l
( 4)
由(2)，(4)式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一条斜 直线. +
Fba l
FA 在集中荷载作用处的左，右 两 A
F
FB B
侧截面上剪力值(图)有突变 。
设用坐标 x 表示横截面的位置，则梁各横截面上的剪力和 弯矩可以表示为坐标 x 的函数，即
FS FS ( x )
M M (x)
上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。 绘图时通常将正值的剪力画在 x 轴的上侧，负值的剪力 画在 x 轴的下侧。弯矩画在梁的受拉一侧，即正值的弯矩
画在 x 轴的下侧，负值的弯矩画在 x 轴的上侧。
x = 5m
(3)弯矩图 AC
MA0
FA
F1=2kN
q=1kN/m C
Me=10kN.m
FB
F2=2kN
q 2 M C 4 F A 4 20 2
A
D 4m
4m
B 3m 6
E
CD
M D左 7 F 2 4F B M e 16
4m
M max M F 20.5
M D右 7 P2 4 F B 6
解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图b。
q(l x) 2 MI 8
AC段中点H的弯矩为
ql 2 M C MH 8 2
截面C弯矩的绝对值为 M qlx C
CD段的最大弯矩发生在跨中G
2
MH >MG
ql 2 MG MC 8
令MI =MC可得
解得
q(l x) 2 qlx 8 2
m dx m
FS
dx
m
-
FS
2、弯矩符号 当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部
+
M m
M
m （受拉）
受拉压）时，横截面m-m 上的弯矩为负
3、轴力符号 当dx 微段受拉时为正，受压为负
-
m
m （受压）
8.1.2 截面法求内力
E
4m
4m
FSC左 F A 4q 3kN
CD 向下斜的直线 ( ) FSC右 F A 4q P 1 1kN
FSD P2 FB 3kN
AC 向下斜的直线() FSA右 7kN F
FSC左 3kN
F1=2kN
A
Me=10kN.m
q=1kN/m
C 4m 4m 3kN D 4m
突变 值等于集中荷载F。弯矩 图形成尖角，该处弯矩值最大。
C
a x
b x l
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
例8-4 图示的简支梁在 C点处受矩为Me的集中力偶作用。 试作此梁的的剪力图和弯矩图。 解 求梁的支反力 Me
FA
A a
FB
B b l
Me FA l
Me FB l
C
将坐标原点取在梁的左端. 因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程
+
DB
6
16
M B 3P2 6
BE
ME 0
20 20.5
8.3
用叠加法作剪力图和弯矩图
作图a所示简支梁的弯矩图 将作用的荷载分解如图b、c
MA、MB作用下的弯矩图 F 作用下的弯矩图 图b、c 相加后的弯矩图如图d 弯矩图的叠加是指纵坐标叠加
8.4
静定梁
8.4.1 单跨静定梁与多跨静定梁
其内部各部分之间因相对位置改 变而引起的相互作用力的改变量。 如图， 距A端x处截面上内力有 剪力FS 、 弯矩M 、轴力FN，对 于梁，一般不考虑轴力的影响。
FS
C
FN M F
FA
FN
M FS
C
FB
内力的符号规定
+
FS
m
1、剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错 动时，横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微 段有顺时针转动趋势的剪力为正。 使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段 有逆时针转动趋势的剪力为负.
(3)
Me FS ( x) l
(0 x l ) (1)
FA
Me
FB
A
a
C b l
B
由(1)式可见，整个梁的剪力图
是一条平行于 x 轴的直线.梁的
任一横截面上的剪力为 FS
Me l
Me l
绘出梁的剪力图
+
Me M ( x) x l
(0 x a )
(2)
FA A a x
Me
M 0 M 0
A
FA
x
l
FB
绘出弯矩图
ql l 弯矩的极值 M max M x 2 8
dM ( x ) ql 令 qx 0 dx 2 l 得驻点 x 2
l/2
2
+
ql 8
2
q
A
由图可见，此梁在跨中点截面 B
x
上的弯矩值为最大
l
FA
ql/2
FB
ql M max 8
第8章 杆件结构的内力及计算
8.1 杆件的内力及计算
8.2 内力方程与内力图
8.3 用叠加法作剪力图和弯矩图
8.4 静定梁 8.5 静定平面刚架
8.6 静定拱
8.7 静定平面桁架
8.1
杆件的内力及计算
a
m m l x
8.1.1 杆件的内力 建筑力学中所要讨论的内力 AF NhomakorabeaB
是指杆件受到外力作用而变形时，
x= l ， M = 0
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截 面上的弯矩值(图)发生突变，其突变 值等于集中力偶矩的数值.此处剪力 图没有变化.
FA A a
Me
FB B b
C
l
Me l M eb l
+
+
M ea l
例8-5 图示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载用。试
作此梁的的剪力图和弯矩图。 q
x2 6x l 2 0
x (3 2 2 )l 0.1716 l MG 0.0858 ql2 弯矩图如图c
内力方程
BC 段：FN2 F 0
FN2 F
内力方程
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ），称为轴力图
8.2.2 梁的内力方程和内力图
单跨静定梁是指由一根梁形成的静定结构，而多跨静
定梁是由若干根梁用铰连接而成，并用若干支座与基础相 连而组成的静定结构。
8.4.2 多跨静定梁的几何组成
用于公路桥的多跨静定梁 计算简图 层叠图 计算顺序：先附属部分 后基本部分 基本部分：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性， 如AB、CD部分； 附属部分：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性， 如BC部分；
FA A FA
F
B
FB
FA A
m m
F
B FB
F (l a) Fy 0 , Fs FA l M C 0 , M FA x
FA
x
FS
M
FA
M FS
C
F C FB
8.2
内力方程与内力图
（F1=F，F2=2F）
8.2.1 轴力与轴力图
FR F2 F1 F
AB 段：FN1 F
解 (1) 求支反力
FA FB ql 2
A FA
B
x
l
FB
(2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) RA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) RA x qx (0 x l ) 2 2 2
ql FS ( x) qx (0 x l ) 2
例8-3 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F作用。
试作此梁的剪力图和弯矩图. 解 (1)求梁的支反力 FA
Fa FB l
F
FB B b
Fb FA l
A a
C
因为AC段和CB段的内力方程不同， 所以必须分段写剪力方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
l