极坐标与参数方程环节1 明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法，考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。

主要考查四类题型：① 极坐标系中，极坐标的几何意义的应用真题示例题1 (2017年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1) M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2) 设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值. 【解析】(1)设()00,M ρθ,(),P ρθ,则0OM ρ=,OP ρ=,依题意016ρρ=,00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为()2224x y -+=()0x ≠.常规方法:曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ,则4tx y =16=, 将224x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠.(2)连接2AC ,易知2AOC ∆为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,如图,过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大max 12S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2= 别解:设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,所以OAB ∆的面积1sin 2S OA AOB ρ=⋅∠4cos sin 3πθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭2sin 223πθ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭当12πθ=-时,S取得最大值2, 所以OAB ∆面积的最大值为2+.题2 (2015年课标Ⅱ文理)选修44-:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩,(t 是参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=,3C:ρθ=. (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0和322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=(ρ∈R ,0ρ≠),其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,当56πα=时,AB 取得最大值,且最大值为4. ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例题 1 (2017年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数).(1) 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；(2) 若C 上的点到l,求a .【解析】(1)1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2219x y +=, 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ, 则P 到l距离d ==,其中3tan 4ϕ=. 当40a +≥即4a ≥-时,max d ==即917a +=,解得8a =. 当40a +<即4a <-时,maxd ==解得16a =-. 综上,16a =-或8a =.题2 (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=,因为P 在曲线C 上,设()22,P s ,故点P 到直线l 的距离224s d +==,当s =,min d =, 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P 到直线l . ③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t 几何意义的应用真题示例题1 【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率题2【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程． （1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足． 于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决真题示例题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．2απ≠tan k α=l y kx =-l O ||1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 题6 （2017年深圳二模）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解析：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分） 方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线， …………（8分）圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-环节2 问题自主解决 1回归教材题组1 人教A 版选修4-4 P12 课本习题编选：题1 在极坐标系中，132511(4,),(4,),(4,),(4,)6666ππππ-表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？题2已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,)432ππππ，求它们的直角坐标题3已知点的直角坐标分别为7),(,0),(2,32---，求它们的极坐标 问题自主探索：① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么？ ② 极坐标的几何意义是什么？题组2人教A 版选修4-4 P15 课本习题编选：题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？（1）5ρ= （2）5()6R πθρ=∈ （3）2sin ρθ= （4）sin()124πρθ-= （5）2sin cos ρθθ= （6）2cos 24ρθ= 题2 将下列直角坐标方程化成极坐标方程（1）4x = （2）2320x y +-= （3）22(1)(4x y -+= （4）22148x y += 题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程（1）过极点，倾斜角是3π的直线 （2）圆心在(1,)4π，半径为1的圆（3）过点(2,)3π，且和极轴垂直的直线 （4）过点)4π，且与2320x y +-=垂直的直线题4 设点P 的极坐标为11(,)ρθ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程题 5 已知椭圆的中心为O ，长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>，,A B 分别为椭圆上的两点，并且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值问题自主探索：① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？② 求解曲线极坐标方程，你是怎么处理的？它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗？ ③ 极坐标的几何意义是如何应用的？题组3 人教A 版选修4-4 P25-34 课本例题编选题1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数） （2） sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线（1）22(1)(2)4x y -+-= （2）221169x y +=题3 在椭圆22194x y +=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。