2015—2016学年郑州市上学期期末考试高一数学试题说明： 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟.2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中.第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）{1,0,1}M =-2{|}N x x x =≤M N = A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}2.下列函数中，在内是增函数的是（ ）()1,∞- A ．B. C. D.31x y -=x x y +=2x x y -=1x y -=13.已知，那么（ ）0.6122log 5,log 3,1,3a b c d -==== A ． B ． C ． D ．a c b d <<<a d c b <<<a b c d <<<a c d b<<<4.若函数在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数12)(2--=x ax x f a 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．)1,(--∞(1,)+∞(1,1)-)1,0[5.下列命题中正确的是（） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C ．由五个面围成的多面体一定是是四棱锥D ．棱台各侧棱的延长线交于一点6.四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小是 （）A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°8.矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A .π12125B .π9125C .π6125 D .π31259.函数在[1,3]上单调递增，则的取值范围是（ ()log (2)a f x ax =-a ）A ．B ．(0,2) C. D ．(1,)+∞2(0,3(2,)+∞10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点ABC ∆，，则的欧拉线方程为（ ）(2,0),(0,4)A B AC BC =ABC ∆ A ． B ． C ． D ．230x y -+=230x y ++=230x y ++=230x y -+=11.有两个不等实根，则k 的取值范围是（ (1)2k x =-+）A ．B ．C ．D ．3(,)4+∞1(,1]33(0,)43(,1]412.设集合，则集合A 所表示图形的{}22(,)|||||,,A x y x y x y x y R =+≤+∈面积为（ ）A. B. 2 C. D.1π+2π+π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 一个几何体的三视图如右图所示，且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为________．14.=______．3342log 220.25log 3log 41(--++15.当时，不等式恒成立，则m 的取值范围是(1,3)x ∈240x mx ++<________．16.圆的方程为，若直线上至少存在一点，使C 22680x y x +-+=2y kx =-得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是C k ________．第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合{}2120A x x x =--<，集合{}0822>-+=x x x B ，集合.22{|430}(0)C x x ax a a =-+<>（Ⅰ）求()R A C B ；（Ⅱ）若)(B A C ⊇，试确定正实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；(3,2)P -（Ⅱ）经过直线2x +7y －4=0与7x －21y －1=0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离.19.（本小题满分12分）一片森林原来面积为，计划每年砍伐一a 些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，.（Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（III ）今后最多还能砍伐多少年？20.（本小题满分12分）如图，已知矩形中，ABCD ，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，10AB =6BC=BD ABD ∆A 1A 且在平面上的射影恰在上，即平面．1A BCD O CD 1A O ⊥DBC （Ⅰ）求证：；1BC A D ⊥（Ⅱ）求证：平面平面；1A BC ⊥1A BD （III ）求点到平面的距离．C 1A BD 21．（本小题满分12分）如图，已知圆心坐标为的圆与轴M x 及直线分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x y =轴及直线分别相切于C 、D 两点．y =（Ⅰ）求圆M 和圆N 的方程；（Ⅱ）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．22.（本小题满分12分）已知函数, 其反函数为1()()2x f x =().y g x =D CA B O A 1（Ⅰ） 若的定义域为，求实数的取值范围；)12(2++x mx g R m （Ⅱ） 当时，求函数的最小值；[]1,1x ∈-[]2()2()3y f x af x =-+)(a h （III ） 是否存在实数，使得函数的定义域为，值2m n >>)(x h y =[],n m 域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．22,n m ⎡⎤⎣⎦m n 郑州市2015—2016学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题：1-5 BCBBD 6-10 ABCDA 11-12 DC二、填空题13.14． 15． 16． 545m ≤-125三、解答题：17.解:（Ⅰ）依题意得，{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x >，()(3,2]R A C B =- .……5分（Ⅱ），由于则{}3C x a x a =<<，由()C A B ⊇ 得所(2,4)A B = 0a >2,34,a a ≤⎧⎨≥⎩以 (10)42.3a ≤≤18. （Ⅰ）解：当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，x 2a ya将(－3,2)代入所设方程，解得a ＝，此时，直线方程为12x ＋2y －1＝0.当直线过原点时，斜率k ＝－，直线方程为y ＝－x ，即23232x ＋3y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y －1＝0或2x ＋3y ＝0. ……6分（Ⅱ） 解：有解得交点坐标为(1，)，274072110x y x y +-=⎧⎨--=⎩72当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程是y －=k (x －1)，即727kx －7y+(2－7k )=0，由A 、B 两点到直线l 的距离相等得=解得k =，当斜率k 不存在时，即直线平行于y 轴，方程为x =1时43也满足条件.所以直线l 的方程是21x －28y －13=0或x =1.……12分19.解：（Ⅰ）设每年降低的百分比为． 则a x a 21)1(10=-，(01)x x <<即21)1(10=-x，解得10121(1-=x . ……4分（Ⅱ）设经过m ，则a x a m 22)1(=-， 即211021()21(=m ，2110=m ，解得5=m ，故到今年为止，已砍伐了5年．……8分（III ）设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为n x a )1(22-,令n x a )1(22-≥a 41，即n x )1(-≥42，1021(n ≥23)21(，10n ≤23，解得n ≤15故今后最多还能砍伐15年． ……12分20.解：（Ⅰ）∵ 平面，∴ ，1A O ⊥DBC 1A O ⊥BC 又 ∵ ，，BC DC ⊥1A O DC O =∴ 平面，∴ ． (4)BC ⊥1A DC 1BC A D ⊥分（Ⅱ）∵ ，，，1BC A D ⊥11A D A B ⊥1BC A B B = ∴ 平面，1A D ⊥1A BC 又 ∵ 平面，1A D ⊂1A BD∴平面平面．1A BC ⊥1A BD ……8分（III ）设到平面的距离为，则C 1A BD h ∵ ， ∴ ，11C A BD A DBC V V --=111133A BD DBC S h S A O ∆∆⋅=⋅又 ∵ ，，∴ ． ……12分1A BD DBC S S ∆∆=16824105A O ⨯==245h =21.解：（Ⅰ）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．∵M 的坐标为(，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，3则⊙M 的方程为(x －)2＋(y －1)2＝1，3设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ，由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ，即＝⇒r ＝3，则OC ＝3，23＋r 1r 3故⊙N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9. 3……6分（Ⅱ）由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝(x －)，即x －y －＝0，33333圆心N 到该直线的距离d ＝，则弦长为2＝. 32r 2－d 233……12分22.解 ：（Ⅰ），定义域为12()log g x x =2212(21)log (21)g mx x mx x ++=++R ，恒成立，所以. (4)2210mx x ++>0,440,m m >⎧⎨∆=-<⎩(1,)m ∈+∞分（Ⅱ）令，，11(),[,2]22x t t =∈22223()3y t at t a a =-+=-+-当时，当时，2,2a t >=min 74.y a =-2,2a t >=min 74.y a =-当时，2,2a t >=min 74.y a =-. 274,21()3,22131,42a a h a a a a a ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩……8分（III ），且在上单调递增.()74,(2,)h x x x =-∈+∞()h x (2,)x ∈+∞所以两式相减得，，与矛盾，所以22()74,()74,h n n m h m m n ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩4m n +=2m n >>不存在满足条件.,m n……12分。