河南省郑州市2019-2020学年高一上学期期末考试高一数学试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|y ，则A ∩B ＝ A.{x|1<x ≤2} B.{x|1<x<3} C.{x|2≤x<3} D.{x|1<x<2}2.过两点A(0，y)，3)的直线的倾斜角为60°，则y ＝ A.－9 B.－3 C.5 D.63.下列四个命题中错误的是A.若直线a 、b 相交，则直线a 、b 确定一个平面B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D.经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 4.设 1.50.4111(),(),ln542a b c ===，则下列关系正确的是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b5.已知圆x 2＋y 2－2mx －(4m ＋2)y ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －7＝0上，则该圆的面积为A.4πB.2πC.πD.2π 6.如下图一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.8B.83C.2D.4 7.已知f(2x )＝x ＋3，若f(t)＝3，则t ＝ A.16 B.8 C.4 D.18.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为A.30°B.45°C.60°D.90°9.已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为A.－1B.1C.2D.010.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝8，过直线l ：x －y －2＝0上任意一点P 向圆引切线PA ，切点为A ，则|PA|的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.411.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，则异面直线BC 1与CD 1所成角的余弦值为 10 B.15 10 D.1212.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程f(x)＝k 有4个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则4232144()x x x x x ++的取值范围是A.(－7，2]B.[－7，2)C.(2，42]D.[2，42)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知集合M 满足{3，4}⊆M ⊆{3，4，5，6}，则满足条件的集合M 有_________个。

14.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a ＝_________。

15.若正四面体ABCD 的棱长为2，则该正四面体的外接球的表面积为_________。

16.高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.4]＝－4，[2.7]＝2。

已知函数21()15x x e f x e =-+，则函数y ＝[f(x)]的值域是_________。

三、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(本小题满分10分)已知直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点为M 。

(I)求过点M 且与直线l 3：3x －y ＋1＝0平行的直线l 的方程； (II)若直线l '过点M ，且点P(0，4)到l '的距离为5，求直线l '的方程。

18.(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x ≤5}，N ＝{x|a ＋1≤x ≤2a ＋1}。

(I)若a ＝1，求M ∩(R N ð)；(II)M ∪N ＝M ，求实数a 的取值范围。

19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为棱PB 的中点，O 为AC 与BD 的交点。

(I)求证：PD//面EAC ； (II)求二面角C －OE －B 的大小。

20.(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线y ＝x 上，且圆C 与直线l ：x －y ＋2＝0相切于点A(0，2)。

(I)求圆C 的标准方程；(II)若直线l '过点P(0，3)且被圆C 所截得弦长为2，求直线l '的方程。

21.(本小题满分12分)近年来，中美贸易摩擦不断。

特别是美国对我国华为的限制。

尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G 。

然而这并没有让华为却步。

华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲。

今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机。

通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝210200,040100008019450,40x x x x x x ⎧+<<⎪⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完。

(I)求出2020年的利润Q(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (II)2020年产量x 为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ (说明：当a>0时，函数y ＝x ＋ax在(0单调递减，在，＋∞)单调递增) 22.(本小题满分12分) 已知函数134()log 4axf x x -=-为奇函数，其中a 为常数。

(I)求常数a 的值；(II)判断函数f(x)在x ∈(－∞，－4)上的单调性，并证明；(III)对任意x ∈(－∞，－5]，都有1()()2xf x m ≤+恒成立，求实数m 的取值范围。

郑州市2019-2020学年上期期末考试高一数学 参考答案13. 4 14. 1 15. 3π 16. {}1,0,1- 三．解答题：17. 解：（I）联立2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ,解得：()1,2M . L L L L 2分所以：与3l 平行的的直线方程为：()231y x -=-，L L L L 4分 整理得：310x y --=.L L L L 5分（II ） 当斜率不存在时，不合题意；L L L L 7分当斜率存在时，设():21l y k x -=-，即：20kx y k -+-= . =，解得：24410k k -+= ，12k =；L L L L 9分所以，所求直线的方程为：230x y -+=. L L L L 10分18. 解：（I ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{}|23R C N x x x =<>或 .L L L L 2分.故 }5322|{)(≤<<≤-=x x x N C M R 或I .L L L L 4分（II ）,M N M N M =∴⊆Q U L L L L 6分1,N ︒=∅ ,121a a +>+，即：0a <; L L L L 8分 2,N ︒≠∅，即：0a ≥.12,215a N M a +≥-⎧⊆∴⎨+≤⎩Q ，解得：02a ≤≤.L L L L 10分,OC BOC ⊂Q OB BOC ⊂综上：2a ≤.L L L L 12分19. 解：(I)由题可得：O 是BD 的中点，因为E 为棱PB 的中点，所以：//EO PD .L L L L 2分又因为：,PD EAC EO EAC ⊄⊂面面；L L L L 4分所以：//PD EAC 面.L L L L 6分（II ）//,,EO PD EO ABCD EO BO ∴⊥∴⊥Q 面,EO CO ⊥，L L L L 8分面 面 , OB OC O =I .则BOC ∠为二面角B OE C --的平面角.L L L L 10分ABCD BO AC ∴⊥Q 四边形为菱形，, 90,BOC ∴∠=o∴二面角B OE C --的大小为90o .L L L L 12分20. 解：(I)由题可设圆心(),C a a ，显然0,a ≠则21CA a k a-==-，解得：1a =，L L L L 2分所以圆心的坐标：()1,1C，r AC ==;L L L L 4分所以圆的标准方程为:()()22112x y -+-= .L L L L 6分(II)当直线的斜率存在时，可设直线/l 的方程：3y kx =+，即：30kx y -+=.由题得：1d === ，解得：34k =- ，L L L L 8分所求直线l 的方程为：34120x y +-= .L L L L 9分当直线l 的斜率不存在时,直线0:/=x l ，满足题意；L L L L 11分 故：所求直线的方程为：34120x y +-=或0x =.L L L L 12分21.解：（I ）当040x << 时 :()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ;L L L L 2分当40x ≥时：()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. L L L L 4分()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩L L L L 6分 （II ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+，()()max 308750Q x Q ∴==万元；L L L L 8分当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当100x =时，()()max 1009000Q x Q ==万元.L L L L 10分所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. L L L L 12分 22.解：()134log I)4(axf x x -=-Q 为奇函数, ()()2211123334416log log log 04416ax ax a x f x f x x x x-+-∴+-=+==----恒成立，L L 2分 即：21,1-1a a a =∴==或 ,L L L L 3分 检验得：-1a =；L L L L 4分 （II ）由（I ）得：()134log 4x f x x +=-=138log 14x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，令()814g x x =+- , ()1212,,4,x x x x ∀∈-∞-<，则： ()()()()()21121212128888811444444x x g x g x x x x x x x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪------⎝⎭. ()()()121212,,4,,x x x x g x g x ∈-∞-<∴>Q .()13log f t t =Q 是减函数，()()111233log log g x g x ∴< ，即：()()12f x f x <.所以()f x 在(),4x ∈-∞-上为增函数. L L L L 8分（III ）()12x f x m ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭恒成立，即：()()12xm f x h x ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭恒成立.由（II ）知：()h x 在(],5x ∈-∞-上为增函数，所以()()max 530m h x h ≥=-=-，所以m 的取值范围是：[)30,-+∞ .L L L L 12分。