的两个解, 则 y2 y1 是相应的齐次线性(2)
方程的解.
11
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理 定理4: 给定 n 阶非齐次线性方程(1)
是对应齐次方程(2)的 n 个线性
无关特解,
是非齐次方程(1)的特解,则非齐次方
程(1)的通解为
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
12
(c2 c12 0).
(1) 当 a1 b1 时 , 令 u a x b y,
ab
化为可分离变量方程.
(2)
当 a1 a
b1 时, b
令
x
y
X Y
h ,(其中h和k是待定的常数)
k,
化为齐次方程.
6
4.一阶线性微分方程 •形式 d y P(x) y Q(x) .
dx 当 Q(x) 0时, 称为齐次方程; 当 Q(x) 0时, 称为非齐次方程. •齐次方程的解法 d y P(x) y 0
•n阶线性微分方程的形式
y(n) P1(x) y(n1) Pn1(x) y Pn (x) y f (x) (1)
特别地, n阶齐次线性微分方程
y(n) P1(x) y(n1) Pn1(x) y Pn (x) y 0
(2)
(2)称为(1)相应的齐次方程.
定理1:
是 n 阶齐次方程(2)
15
7.差分与差分方程的概念
•差分 设函数 y f (x) 为定义在非负整数集上的函数,
的 n 个解,则 y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
也为齐次方程(2)的解. 齐次方程解的叠加原理
10
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理
定理2:
是 n 阶齐次方程(2)
的 n 个线性无关解,则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数) .
定理3:
是 n 阶非齐次方程(1)
作变量代换,
u y , 即 y xu,
x
dy u x du ,
dx
dx
代入原式得 u x du f (u) , dx
分离变量得 du dx ,
f (u) u x
两边积分,将u代回,便得到原方程的通解.
5
•可化为齐次的方程
dy f ( ax by c )
dx
a1x b1 y c1
0 , 不是特征方程的根 ; k 1, 是特征方程的 单特;
2 , 是特征方程的重根 .
14
•简单的非齐次线性微分方程特解的求法
( 2 ) f (x) e x a cos x bsin x
设方程的特解形式为: y xke x Acos x Bsin x
其中 A与B为待定系数,而
0 , i不是特征方程的根; k 1, i是特征方程的单根.
3
2.变量可分离的微分方程
•形式 dy f (x)g( y) .
dx
•解法 分离变量, dy f (x)dx ,
g( y)
两边积分,
dy f (x)dx , g( y)
G(y) F(x) C. 称为隐式通解,或通积分.
4
3.齐次微分方程
•形式 dy f ( y ) .
dx x
•解法
Q(x)
即
两边积分得 u Q(x)e P(x)d x dx C ,
公式法
故原方程的通解为
y
e
P(
x)
d
x
Q(
x)
e
P(
x)d
x
d
x
C
也即 y Ce P(x)d x e P(x)d x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
d
x
齐次方程通解
非齐次方程特解
8
•伯努利方程 d y P(x) y Q(x) yn ( n 0, 1) dx
解法:
除方程两边,得
yn d y P(x) y1n Q(x) , dx
令 z y1n , 则 d z (1 n) yn d y ,
dx
dx
d z (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) . dx
(线性方程)
求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.
9
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理
13
•二阶常系数非齐次线性微分方程
对应齐次方程 y p y q y 0,
通解结构
y Y y ,
•简单的非齐次线性微分方程特解的求法
(1) f (x) Pn (x)e x (其中Pn (x)为n次多项式)
设方程的特解形式为: y xkQn (x)e x
其中Qn (x)与Pn (x)为同次多项式,而
•线性微分方程 方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是 一次,且无交叉乘积项.
y y3 x2 y (sin x)(4) 1, 二阶非线性.
y p(x)y q(x)y f (x) ,

二阶线性.
2
•微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.
特解 不含任意常数的解.其图形称为积分曲线. 注意,通解不一定是方程的全部解. •初始条件 用来确定任意常数的条件. •初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f (x, y, y)
y
x
x0
y0 , yxx0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
6.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性 微分方程
•二阶常系数齐次线性微分方程
其特征方程为: r2 p r q 0 , 特征根为:
特征根的情况
通解的表达式
两互不相同的实根 r1 r2 y C1er1x C2er2x
二重根 r1 r2
y (C1 C2 x) er1x
两个共轭复根 r1,2 i y e x (C1 cos x C2 sin x)
第五章 常微分方程与差分方程
1
考试内容
1.常微分方程的基本概念
•常微分方程 含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.
•微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y,, y(n) ) 0
或
y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) .
dx
分离变量,
两边积分得, ln y P(x)dx ln C ,
故通解为 y C e P(x) dx .
7
•非齐次方程的解法 d y P(x) y Q(x)
dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x)e P(x)d x , 则
u
e
P(
x)
d
x
P(x)u eP(x)d x
P(x)u e P(x)d x