存在唯一性条件。 为了研究系统（6.4.1）的轨线的定性性态，
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必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如
上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，
不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系 统的某一解 x x(t ) ，y y (t ) 满足：
lim x(t ) x0 , lim y (t ) y0 ,
容易求出其通解为
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(6.4.12)
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x(t ) c1e , y(t ) c2e .
其中
t
t
（6.4.13）
c1 , c2是任意常数， c1 c2 0 对应于零解，
c1 0, c2 0 对应的 Y 轴正负半轴都是轨线； c1 0, c2 0 对应的 X 轴正负半轴是轨线；
当
c1 , c2 0 时候，再分两种情况讨论：
, 同号且均为负数 ( p 0) （1），
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这时消去
t得
y cx

（6.4.14）
所以轨线均为以 (0, 0) 顶点的抛物线，且 当
t 时由
dy c 2 ( )t e dx c1
t t
则点 ( x0 , y0 ) 一定是系统的奇点。
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一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较 复杂的。又因为对于系统的任何奇点 P 0 ( x0 , y0 ) 均 可用变换
x x x0 y y y0
把（6.4.1）变为：
x
(6.4.2)
2
则特征方程为 2 p q 0 ，特征根为
p 2
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(6.4.11)
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由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:
1. 特征根为不相等的同号实根 ( 0, q 0)
此时对应的标准型为
dx x dt dy y dt
A
的特征根的不同情况而具有以下几种形式：
0 0
0 1

因而对系统（6.4.5）作变换 X TY 即
Y T X ，其中
1
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x X y
Y
考虑到一般的平面线性系统
dx ax by dt dy cx dy dt
（6.4.5）
a b 其中系数矩阵 A 为常数矩阵 。 c d
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如果 det A ad bc 0 ，则 O (0, 0) 是系统
因此，我们可假设 O (0, 0) 是(6.4.1)的奇点，且
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只须讨论(6.4.1)的奇点 O (0, 0) 及其邻域的轨线 性态即可。所以设(6.4.1)中的右端函数满足：
f (0,0) g (0,0) 0
如果 f ( x, y), g ( x, y ) 均是
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dx f ( x x0 , y y0 ) P ( x, y ) dt dy g ( x x , y y ) Q( x, y ) 0 0 dt
(6.4.3)
且(6.4.3)的奇点 O (0, 0) 即对应于(6.4.1)的 奇点 P 0 ( x0 , y0 ) 。又因为变换(6.4.2)只是一个平 移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。
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初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。
例6.4.1 用Maple描出系统
dx x dt dy 2 y dt 在奇点附近轨线的相图。
解 用Maple解得相图6.4。
(6.4.6)
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6.4.2 平面线性系统的初等奇点
数。我们称之为线性系统，即 dx ax by dt dy cx dy dt
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(6.4.4)
x, y
的线形函
(6.4.5)
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6.4.1 几个线性系统的计算机相图
一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻
域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地 画出其图形，给我们一个直观的形象。 Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软 件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定
§6.4平面线性系统的奇点及相图
6.4.1 几个线性系统的计算机相图
6.4.2 平面线性系统的初始奇点
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本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
(6.4.1)
2 g ( x , y ) f ( x , y ) 其中 ， 在上 R 连续且满足解的
的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点. 而 det A 0
则称O(0,0)非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，
这时的奇点称为系统的高阶奇点。 下边讨论系统（6.4.5）的初等奇点。 根据线性代数的理论，必定存在非奇异 实矩阵 T ，使得 T 1 AT 成为
A
的若当
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（Jorda21 t22
是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (6.4.5)变为:
dY T 1 ATY dt
从
1
(6.4.10)
T AT 而变换的几种形式就能容易的得出
( , ) 平面系统（6.4.10）的轨线结构，至于
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原方程组(6.4.5)的奇点及附近的轨线结构只须
用变换 X TY 返回到就行了。
由于变换 X TY 不改变奇点的位置与类
型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出 讨论。
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设
A
的特征方程为：
ab 2 (a d ) ad bc 0 c d
记 p (a d ), q ad bc, p 4q