第六章 常微分方程 一、填空题1．xce y 2-= 2.1()x x y xe e C x--=--+ 3. y =()x e x C + 4. 044=+'-''y y y 二、单项选择题1. A2.C3.C4.A5.D6. C7.A8. A9. B 10. D 三/计算题 1.解：通解为[]11ln ln sin ...........................3sin 1cos .............................................6dx dx x xx x x y e e dx C x x e e dx C x x C x--⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰分分 2.解：通解为[]tan tan ln cos ln cos 1...........................2cos 1cos 11cos ..............................4cos cos 1.....................................cos xdxxdx x x y e e dx C x e e dx C x xdx C x x x C x --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰⎰分分...............6分求微分方程 x x y y x ln =-' 满足初始条件11==x y 的特解． 3.解： x y xy ln 1=-' ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x e y dx x dx x 11)(ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰⎰-C dx x x x C dx e x e x x ln )(ln ln ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=C x x 2)(ln 2 由 11==x y 得1=C , 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=12)(ln 2x x y ． 4.解：令y u x =,则dy du u x dx dx =+,原方程化为1du x dx u=,即22u e Cx =.通解为 222y x e Cx =.5.解：令y u x =, 则dy du u x dx dx =+,原方程化为tan dux u dx=,ln sin ln ln u x C =+, 通解为 sin y Cx x=. 6.解: 令,x y u =得sec ,du u x u u dx+=+ 分离变量，cos ,dx udu x = 积分得 s i n l n ,u x C =+ 原方程通解sin ln ,yx C x=+由初始条件得,1=C 初值问题的解是sinln ,yx x= 或arcsin ln .y x x = 7.解：原方程可化为222)(22x y x y xxy y dx dy -=--=，令u x y =，则,d y d uy u x u x d x d x==+,代入方程得22u u dx du xu -=+，分离变量得x dxuu du =-2，两边积分得c x u u ln ln )1ln(+=-, 所以,1cx u u =- 故原方程的通解为12-=cx cx y ， 又21==y x 时，，所以2=c ，特解为1222-=x x y .8.解: 令y p '=,则p y '='',代入方程得xp p x 2)1(2='+,即dx xx p dp 212+=, 积分得 ||ln )1ln(||ln 12C x p ++=, 即)1(21x C p +=.利用30=''=x y ,得31=C ,于是)1(32x y +=' 两边再积分 得233C x x y ++= .利用10==x y ,得22=C ,因此所求特解为233++=x x y . 9.解： 令p y ='，则dxdp y =''. 原方程化为 02=+p dx dp e x， x x e C p dx e p dp ---=⇒=-⇒121， 由 2100-='===x x y p 111+-=⇒-=⇒x x e e p C ，即 1+-=x xe e dx dy 2)1ln(C e y x ++-=⇒， 由 00==x y 21ln 2ln 2+-=⇒=⇒x e y C ．10.解：特征方程为2560r r -+=，特征根为122,3r r ==，齐次方程的通解 为2312x x Y C e C e =+，又2λ=是特征单根，设特解为*2x y xae =，代入关系式 )()()2()(x P x Q p x Q m ='++''λ，得5a =- 所以特解为*25x y xe =-,所以微分方程的通解为232125x x x y C e C e xe =+-.11.解: 特征方程为 0322=-+r r 的特征根 3,121-==r r ，所以对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 321-+=,由已知, 1=m , 而1=λ为方程的单特征根, 故可设原方程的特解为x e b ax x y )(*+= 代入原方程整理得x b ax a 2)2(42=++比较等式左右两边系数得⎩⎨⎧=+=04228b a a即 ⎩⎨⎧-==8/14/1b a .所以原方程的通解为x x x e x e C e C y )12(812321-++=-.12.解: 特征方程是 2440r r ++=，特征根1r =22-=r .故对应齐次方程的通解 是212()x Y C C x e -=+.自由项的()1m P x =，2λ=-是二重特征根，故原方程的特解形式为*22x y x ae -=⋅，代入原方程得12a =， 所求通解22221212x x x y C e C xe x e ---=++. 13.解：特征方程为2440r r -+=，特征根为122r r ==,齐次方程的通解 为212()x Y C C x e =+, 又2λ=是二重特征根，设特解为*22x y x Ae =，代入关系式()()m Q x P x ''=，即323,2A A ==，所以特解为*2232x y x e =. 所以微分方程的通解 为222123()2x x y C C x e x e =++. 14.解：特征方程为2320r r ++=，特征根为121,2r r =-=-， 齐次方程的通解 为212x x Y C e C e --=+，又1λ=-是特征单根，设特解为*x y xAe -=，代入关系式)()()2()(x P x Q p x Q m ='++''λ，得6A = 所以特解为*6x y xe -= 所以微分方程的通解为2126x x x y C e C e xe ---=++.15.解：特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==，齐次方程的通解为312()x Y C C x e =+，又3λ=是特征重根，设特解为*23x y ax e =，2()Q x ax =代入关系式)()(x P x Q m =''，得12a =所以特解为*2312x y x e =,所以微分方程的通解为323121()2x x y C C x e x e =++. 四/综合题1.解：设)(t p y ='，则)(t p y '=''，原方程可以化为tp p t ='-)1(2，即dt tt p dp 21-=， 两边积分得21ln ln 1ln 2p t C =--+,解得p = 01t y ='=由得1C =即dy dt =. 1a r c s i n y t C =+ 00t y ==由得10C =, 则arcsin y t =.2.解：设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程可以化为xp p x 2)1(2='+，即dx x xp dp 212+=，两边积分得⎰⎰+=dx x x p dp 212,所以, )1(2x c p +=, 即)1(2x c y +='.分离变量得dx x c dy )1(2+=，两边积分得，133c x c cx y ++=，为原方程的通解.又10==y x 时，；30='=y x 时，， 解出11=c ，3=c ， 所以特解为331y x x =++. 3.解：由牛顿第二定律，得.,00v vv dtdvt =-== 分离变量并积分，得C t v ln ln +-=，解得t e C v -=1，将初始条件代入，得01v C =，所以，t e v v -=0，所以当t e v v -=0031，解出3ln =t .4.解：设汽车的加速度为2a -米/秒 ，则22d s a dt =-.解得2122as t C t C =-++,代入初始条件(0)0,(0)30s s '== 求得特解为2302as t t =-+， 由30v at =-+中0v =,得30t a =,代入2302a s t t =-+且100s =解得92a =. 5.解: 由题意，曲线满足方程⎪⎩⎪⎨⎧=-='= (2)(1) 22612x y xx y y由方程（1）得一阶线性方程： x y x y 213-=-'. 其中 x x Q x x P 21)(,3)(-=-= ，于是方程（1）的通解为))(()()()(C dx e x Q e x y dx x P dxx P +⎰⎰=⎰-⎰+⎰-⎰=-)21(33C dx xee dx x dx x )21(3C x x += 又由（2）得23=C ， 从而所求曲线为 232123x x y +=. 6.解: 原方程化为dx xxy dy sin cos 1=+, 积分得 1s i n-=x C y , 旋转体的体积 ⎰-=ππ02)1s i n ()(dx x C C V)42()1sin 2sin (222πππππ+-=+-=⎰C C dx x C x C ,)4()(-='C C V ππ, 0)(='C V , 得到唯一驻点 π4=C , 又0)(2>=''πC V , 所以当π4=C 时, )(C V 取最小值.所求解是 1sin 4-=x y π.7.解: 设飞机t = 0时刻着陆后的制动加速度为a -m / s 2，则a dtsd -=22，初始条件 (0)0,(0)120s s '==， 对a dt sd -=22积分两次，得2122C t C t a s ++-=，代入初始条件(0)0,(0)120s s '==，求得特解21202as t t =-+．由1200v at =-+=，解得120t a =， 代入不等式 212021002as t t =-+<，得 212012012021002a a a⎛⎫-+⋅< ⎪⎝⎭， 解得 3.48a >（m / s 2）． 可见，飞机着陆后的制动加速度至少为3.43 m / s 2, 才不至于冲出跑道.。