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仿真实验线性系统稳定性分析报告

实验四 Stability analysis of linear systems线性系统稳定性分析一、实验目的1.通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。

2.熟练掌握系统的稳定性的判断方法。

二、基础知识及MATLAB 函数注意:routh ()和hurwitz ()不是MATLAB 中自带的功能函数,(在共享文件夹里有劳斯判据和赫尔维茨判据的m 文件,把其中的routh.m 和hurwitz .m 放到MATLAB 文件夹下的work 文件夹中才能运行)。

1)直接求根判稳roots()控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。

因此,为了判别系统的稳定性,就要求出系统特征方程的根,并检验它们是否都具有负实部。

MATLAB 中对多项式求根的函数为roots()函数。

若求以下多项式的根24503510234++++s s s s ,则所用的MATLAB 指令为: >> roots([1,10,35,50,24])ans =-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000特征方程的根都具有负实部,因而系统为稳定的。

2)劳斯稳定判据routh ()劳斯判据的调用格式为:[r, info]=routh(den)该函数的功能是构造系统的劳斯表。

其中,den 为系统的分母多项式系数向量,r 为返回的routh 表矩阵,info 为返回的routh 表的附加信息。

以上述多项式为例,由routh 判据判定系统的稳定性。

>> syms EPS den=[1,10,35,50,24]; ra=routh(den,EPS) r=1 35 24 10 50 0 30 24 0 42 0 0 24 0 0 info=[ ]由系统返回的routh 表可以看出,其第一列没有符号的变化,系统是稳定的。

3)赫尔维茨判据hurwitz ()赫尔维茨的调用格式为:H=hurwitz (den )。

该函数的功能是构造hurwitz 矩阵。

其中,den 为系统的分母多项式系数向量。

以上述多项式为例,由hurwitz 判据判定系统的稳定性。

>>den=[1,10,35,50,24]; H=hurwitz(den)H=10 50 0 0 1 35 24 0 0 10 50 0 0 1 35 24由系统返回的hurwitz 矩阵可以看出,系统是稳定的。

与前面的分析结果完全一致。

4)开环增益K 0和时间常数T 改变对系统稳定性及稳态误差的影响 系统开环传递函数为:)1)(11.0(10)(0++=Ts s s K s G ,参考以下图片中的仿真程序:系统开环传递函数为: )1)(11.0(10)(0++=Ts s s K s G式中,0K =12/R R ,Ω==Ω=Ω=k 100,k 500~0k 10021R RC T R R ;,,C 取1Fμ或0.1F μ两种情况。

(1)输入信号F C U μ11r ==,;改变电位器,使2R 从0→500Ωk 方向变化,观察系统的输出波形,确定使系统输出产生等幅震荡时相应的2R 值及0K 值,分析0K 变化对系统稳定性的影响。

(2)分析T 值变化对系统的影响。

(3)观察系统在不同输入下稳态误差变化的情况。

四、软件仿真实现方法(1)开机执行程序c:\Matlab\bin\Matlab.exe (或用鼠标双击MATLAB 图标),进入MATLAB 命令窗口:“Command Window ”。

(2)系统开环传递函数为:)1)(11.0(10)(0++=Ts s s K s G取T=0.1,即令F C R μ1k 100=Ω=,;取0K =1,即令Ω==k 10021R R ,建立系统数学模型,绘制并记录其阶跃曲线。

(3)理论分析0K 对稳定性的影响。

保证T=0.1不变,改变0K ,令0K 分别等于2,3,4,5,即将可变电阻2R 分别设置在200,300,400,500Ωk 。

用劳斯判据求出使系统稳定的0K 值范围,并对上述各种情况分别判断稳定性。

(4)由实验验证第(3)步的理论分析结果。

分别绘制相应的阶跃响应曲线,并分析0K 变化对系统稳定性的影响。

键入程序:%定义元件参数R1=10^5; %电阻参数Ω=k 1001R R=10^5; %电阻参数Ω=k 100RR2=[1,2,3,4,5]*10^5; %电阻参数2R 矩阵,包含2R 可取的5个数据C1=10^(-6); %电容参数F C μ11= C2=10^(-7); %电容参数F C μ1.02=T=[R*C1,R*C2]; %时间常数T 矩阵,包含T 可取的两个值 %建立系统传递函数;并绘制其阶跃响应曲线 for i=1:5K0(i)=R2(i)/R1; %给增益0K 赋值num=10*K0(i); %开环传递函数分子多项式模型den=[0.1*T(1),0.1+T(1),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gopen=tf(num,den) %建立开环传递函数open G Gclose=feedback(Gopen,1,-1) %建立闭环传递函数close G figure(i) %建立第i 个图形窗口t=0:.01:10step(Gclose,t) %求系统阶跃响应并作图end运行结果如图3.2-3所示。

可见,0K =2时,系统临界稳定;随着0K 的增加,系统将趋于不稳定。

(5)在0K =1(系统稳定)和0K =2(系统临界稳定)两种情况下,分别绘制T=0.1和T=0.01(即保持R=100k Ω不变,C 分别取1μF 和0.1μF )时系统的阶跃响应,分析T 值变化对系统阶跃响应及稳定性的影响。

键入程序:%定义元件参数 R1=10^5; R=10^5;R2=[1,2,3,4,5]*10^5; C1=10^(-6); C2=10^(-7); T=[R*C1,R*C2];%取K0=1,分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线 K0=R2(1)/R1; for i=1:2num=10*K0; %开环传递函数分子多项式模型 den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gopen(i)=tf(num,den) %建立开环传递函数open G Gclose(i)=feedback(Gopen(i),1,-1) %建立闭环传递函数close Gendfigure(1) %建立第1个图形窗口step(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g') %求系统阶跃响应并作图Time (sec)A m p l i t u d eTime (sec)A m p l i t u d eTime (sec)A m p l i t u d eTime (sec)A m p l i t u d eStep ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3.2-3 0K 取不同值时系统响应曲线运行结果如图3.2-4所示。

可见,时间常数T 减少时,系统动态性能得到改善。

%取0K =2,分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线K0=R2(2)/R1; %取0K =2,即使系统临界稳定的0K 值 for i=1:2num=10*K0; %开环传递函数分子多项式模型den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0] %开环传递函数分母多项式模型GGopen(i)=tf(num,den) %建立开环传递函数openGGclose(i)=feedback(Gopen(i),1,-1) %建立闭环传递函数close endfigure(2) %建立第2个图形窗口hold onstep(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g') %系统阶跃响应并作图运行结果如图3.2-5所示。

可见,T从0.1变为0.01时,系统由原来的临界稳定状态变为衰减震荡,稳定性和动态性能均得到改善。

K=1,T分别取0.1和0.01时系统响应曲线图3.2-4图3.2-5 0K =2,T 分别取0.1和0.01时系统响应曲线三、实验内容1.系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ,试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。

2.单位负反馈系统的开环模型为)256)(4)(2()(2++++=s s s s Ks G 试分别用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性,并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。

3,分析开环增益K 0和时间常数T 改变对系统稳定性及稳态误差的影响,系统开环传递函数为:)31.0)(1)(11.0(10)(0+++=s Ts s s K s G 。

四、实验报告1.根据内容要求,写出调试好的MATLAB 语言程序,及对应的MATLAB 运算结果。

2. 记录各种输出波形,根据实验结果分析参数变化对系统的影响。

3.总结判断闭环系统稳定的方法,说明增益K对系统稳定性的影响。

4.写出实验的心得与体会。

五、预习要求1. 预习实验中基础知识,运行编制好的MATLAB语句,2. 结合实验内容,提前编制相应的程序。

4.熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。

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