将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
6
6
6 10 1 2 58
6
6
s2
67 6
17 6 58 6
67
791 67
67 2 6 0
6
2
67
6
6
s1
791 67
58 6
67 6
2
6150
791
791
67
s0
2
劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。
为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正 数后，再继续运算。
本例中，劳斯表可按如下方法计算：
lim c(t) 0
t
该系统就是稳定的。
五种运动模态
q
r
c(t) ieit Akekkt sin(dkt k )
i 1
k 1
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
Impulse Response 1
0.9
例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 1 3 5 7
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 7
斯 s3 ε0 -8
((1(660-－-164)4)//2)1/=2=2=-18
表 s2 2ε+8
7ε
s1 -8(2ε+8) -7ε 2
s0 7ε
劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个 根在S平面右半部分，系统不稳定。
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
Impulse Response 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Impulse Response 14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
-1.4656 -1.0000 0.2328 + 0.7926i 0.2328 - 0.7926i
(2) 劳斯表某行的第一项等于零，而本行 中其余各项不全为零
当劳斯表某一行的第一项为零，而其 余项不全为零，可用一个很小的正数ε(例 如1*10-6 )代替第一列的零项，然后按照通 常方法计算劳斯表中的其余项。
的。
例5 已知系统的特征方程,分析系统的稳定性。
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
解 由特征方程列劳斯表
s6 1
8
20
16
s5 2 12 16
s4 2 12 16
s3 0
0
0
由于s3行的各项均为零，这表明系统有共轭虚根，所 以系统不稳定。共轭虚根可由辅助方程求得，由
*如果特征根中有一个或一个以上具有正实 部，则该根对应的瞬态分量是发散的， 此 时 limc(t) 0 不成立，系统不稳定。
t
*如果特征根中具有一个或一个以上的零实 部根，而其余的特征根均有负实部，则c(t) 作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态（ 在工程上也称为不稳定）。
*显然，只有当系统特征方程的根都具有负实 部时，则各瞬态分量都是衰减的，则 有 limc(t) 0 ，此时系统是稳定的。
设系统的特征方程为：
a0sn a1sn-1 an-1s an 0 a0 0
则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数 ai (i 1, 2, n) 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即
1 a1 0
2
a1 a0
a3 a2
0
a1 a3 a5 3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
a1 a3 a5 a7
a0 a2 a4 a6
0 a1 a3 a5
0 n
a0
a2 a4
00 0 0 00 0 0 00 0 0
00 00 00 00
0
an 0 a n-1 0 a n-2 a n
例8 系统特征方程如下，用Hurwitz判据判稳。
2s4 s3 3s2 5s 10 0
解：
15 0 0
3、若计算劳斯表时出现情况(2)和(3)，此时为确定系数极 点的分布情况，可按情况(2)和(3)的方法处理。
三、劳斯稳定判据推广应用
运用劳斯判据，不仅可以判定系统是 否稳定，还可以用来分析系统参数的变化 对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳 定的参数范围。
例 6 已知系统的结构图如图所示。当 0.2
1、稳定的必要条件
系统稳定的必要条件是其特征方程
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
的各项系数均为正，即
(a0 0)
ai 0 (i 0,1, 2, , n)
分析稳定性，首先分析必要条件
首先检查系统特征方程的系数是否都大 于零，若有任何系数是负数或等于零，则系 统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时， 再使用劳斯判据判别系统是否稳定。
确实不存在实部大于零的情况。
判断系统稳定性的步骤：
1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数 不满足ai>0(i=0,1,2,……n)时，系统是不稳定的。
-s2-5s-6=0稳定吗？
2、当特征方程的系数满足ai>0 (i=0,1,2,……n)时，计算 劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。 如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
作业：3-9
3-11 3-12
t
线性定常系统稳定的充分必要条件
闭环系统特征方程的所有根都 具有负实部，或者说闭环传递函 数的所有极点均位于为S平面的 左半部分（不包括虚轴）。
提问
1. 为什么要把线性定常系统稳定性的问题单 独提出来？
2. 在前边求线性系统阶跃响应的解时不是已 经解决了吗？而且还给出了结论，为什么还 要旧话重提？
时, n 86.6,试确定K为何值时，系统稳定。
R(s) E(s)
1
-
K s
n2
C(s)
+ s(s 2n )
解 图示系统的开环传递函数为
G(s) n2 (s k) s 2 (s 2 n )
其闭环传递函数为
(s)
s3
n2 (s k) 2ns2 n2s
K n
2
特征方程为 s3 2n s2 n2s Kn2 0
第三章 时域分析法 第五节 线性系统的稳定性分析
一、稳定的基本概念
1.定义
如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来 的平衡状态，当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复 到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简 称稳定）。否则，称该系统是不稳定的。
注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性
只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
则Routh表为