sn s n 1 s
n 2
a0 a1
a2 a3
a4 a5

s n 3

s0
•
a 1a 2 a 0 a 3 a 1a 4 a 0 a 5 a 1a 6 a 0 a 7 c13 c 23 c 33 a1 a1 a1 c 13 a 3 a 1c 23 c 13 a 5 a 1c 33 c 13 a 7 a 1c 43 c 14 c 24 c 34 c 13 c 13 c 13

an


当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，
如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符 号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。
例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据 判别系统稳定性。 解：列出劳斯表 s 4 5 1 3
s3
s2
2
4
s
1
0
s
2 4 1 5 6 1 1 5
1 3 1 5 2 4 2 0 1 5 2 2
0
0
注意两种特殊情况的处理： 1）某行的第一列项为 0 ，而其余各项不为0 或不全为 0 。用 因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正 数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。 2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅 助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 1 5 6 1 6
s1.2 j 0.586 j 0.766 s3.4 j 3.414 j1.848

t
(a)闭环极点分布图
(b)单位阶跃响应曲线
3.4 稳定性分析
3.4.1 线性系统的稳定性概念 系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失 之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由 结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。 • 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统， g ( t ) 0，则系统稳定。 这相当于给系统加了一扰动信号。若 lim t • 线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根 都具有负实部. j [ S 平面 ] 判别系统稳定性的基本方法： 稳定区域 (1) 劳斯—古尔维茨判据 不稳定区域 (2) 根轨迹法 0 (3) 奈奎斯特判据 (4) 李雅普诺夫第二方法
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
继续计算劳斯表 ③ 解辅助方程得对称根 错啦!!! :
第一列全大于零,所以系统稳定
劳斯表出现零行 1 劳斯表何时会出现零行? 系统一定不稳定
2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根?
s1,2=±j
由综合除法可得另两 个根为s3,4= -2,-3
例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据 判断系统的稳定性。
解：列出劳斯表
s4 s3 s2 s1 s0
1 2 (取代0) 2-4/ 2
1 2 2
2 0
可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S 右半平面上有两个极点。
例3.6 设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用 劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：列出劳斯表 s6 s5 s4 s3 1 2 2 0 6 8 8 0 10 4 4 0 4 辅助多项式A(s)的系数
A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s 以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系数 s2 4 4 s1 8 s0 4 • 第一列元素全为正，系统并非不稳定； • 阵列出现全零行，系统不是稳定的； • 综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。 解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0 y 2 2 0.586,
( s 5)( s 1.5 s 2) 5(
' ( s)
2 2 s 2 1.5 s 2 ( s 0.75 j1.2)(s 07.5 j1.2) j
c(t) j1.2
s 1)( s 2 1.5 s 2) 5
p1 -5
p2
-0.75 0-j1.2 p3
3.3.5 高阶系统的时域分析
•特点：1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。 2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。 3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环 零点有关。 •分析方法：1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。 2) 忽略偶极子的影响。 10 10 例如： ( s ) 2
劳 斯 表
劳斯表特点
1 右移一位降两阶 2 行列式第一列不动 ε +8 7 2 ε 3 次对角线减主对角线 2 -8 (2 ε +8) - 7 ε 4 每两行个数相等 ε 7 5 分母总是上一行第一个元素 6 一行可同乘以或同除以某正数 7 第一列出现零元素时， 用正无穷小量ε代替。
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零!
6 0 5 6
第一列数据不同号， 系统不稳定性。
设系统特征方程为： 劳斯表特点及第一种特殊情况
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 ε 0 3 4 2 -8 -8 5 6 7 7 7
(6－4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8