管道包扎
一、摘要
家庭中的煤气管道或暖气管道以及化工厂中大量的管道在室外的部分经常需要从外部用很长的带子缠绕包扎，从而对管道加以保护。

在包扎过程中总会考虑到材料最省时需要带子的总量，以及在材料稍微多余的情况下如何包扎才能将材料全部用完的问题。

在这里，我们将建立简单的数学模型并借助数学软件MATLAB求解，利用一些参数可以算出所需最短带子的长度为50.400m，这就解决了第一个问题。

在第二个问题中，带子总长M=51.000m，由此我们算出包扎时每次重叠0.004m 就能刚好把带子用完。

二、问题
已知直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？
1、设管道长L = 30m , 圆管截面周长C = 50cm, 带子宽W = 30cm,则最少要用多长M的带子才能将管道缠绕包扎上?
2、现有带长M=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。

缠绕时允许带子互相重叠一部分。

应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)
三、问题的分析
这是一个很实际化、很生活化的问题，但是题目给得很粗糙，在建立数学模型时为了能顺利解决问题，我们需要作出一些假设，如假设管道是直圆管、带子无弹性等。

根据生活经验，我们需要将带子斜着缠绕在管道上，于是为了使带子全部包住管道而且带子间互不重叠就必须得选择一个适当的角度，为此我们将建立一个简单的数学模型来解决这个问题。

但是，实际生活我们又会遇到这样一个问题，买来的带子通常要稍微多于实际所需要的，这时，我们就得另外建立一个模型，来考虑如何将买来的材料用完并且包扎得比较完美的问题。

四、假设
1）. 管道是直圆管，粗细一致；
2）. 带子等宽，无弹性，并且带宽要小于圆管截面周长；
3）. 为保持包扎过程的连续性以减少劳动量，在包扎过程中昼不将带子剪短；
4）.针对问题1，假设在包扎过程中带子包住管道且带子互不重叠、边缘衔接处没有空隙：
5）.针对问题2，假设包扎时带子每次重叠的部分相等；
6）.为表达更加方便，我们假设一些符号表示——W：带宽，C：截面周长， ：倾斜角，W*:问题2中模型上的带宽，L:管长，M:带长
五、模型的建立及求解
1、问题1模型
我们设想将带子已经缠绕在管道上使它包住管道且带子互不重
叠、边缘衔接处没有空隙，并且从带子一角的A 点沿圆管母线的方向画一条辅助线l ，再在辅助线与带子边缘的交点处画出圆管的横截面的切口线c ，将画有辅助线的带子剪下一段展开。

由于假设带子包住圆管且又互不重叠，故母线和截口线交于带子
的边缘，这时A ，B 和D ，E 分别表示管道上的同一点。

直线AB 和DE 是圆管的截口而BD 和EF 是圆管的母线，且有AO ⊥OB.因此建立倾斜角模型，我们容易得出带子的宽度W 、圆管的周长C 和带子的倾斜角这三个变量之间的关系式为： 这就是管道包扎的一个数学模型，但它涉及到了角度的计算和测
量，这在实际操作中时不太容易实现的，故不太实际，我们在实际操作过程中要尽量避免涉及到角度的计算和测量，为此我们从另一角度出发，考虑组建线段OB 的模型，即截口模型，由前面的分析我们可以知道当带子包住圆管又互不重叠的充分必要条件是直线AB 与端口的截面周长C 重合，而A 点和B 点在管道上要重合为一点，用线段AB 的长度可以确定B 点的位置。

于是，我们有
（1） （2）
根据以上的分析，将各个数值代入有
C
W Sin =θ22||OB C W =-22W C W LC MW -+=2
23.05.03.05.030-+⨯=M
在MATLAB 软件中编程算得M=50.400m.
2、问题2模型
假设我们已经将51m 每次重叠相同的长度刚好包扎在管道上时，这是W*可以看成去除重叠部分后带子的宽度，于是与问题1一样建立截口模型，则应该有关系
于是，上述问题又可以转化为求函数 的零点，在MATLAB 软件中编程算得W*=0.296m
所以，包扎时每次重叠0.004cm ，长M=51m 的带子刚好全部包扎在上面的管道上。

六、模型分析
做这个模型的时候的我们作出了一些假设以便问题的分析和解决，但并未偏离生活的实际情况，还是比较合理的。

而且，将我们的模型稍作修改之后，也可以用来解决其他形状如T 形三通的管道包扎问题。

七、参考资料
[1]薛毅 数学建模基础 科学出版社
[2]冯杰 黄力伟 王勤 尹成义 数学建模原理与案例 科学出版社
[3]刘来福 黄海洋 曾文艺 数学模型与数学建模 北京师范大学出版社
2
2*5.0*5.03051W W -+⨯=51*5.0*5.030)(22--+⨯=W W W f。