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零点存在定理的教案

教案
课题:零点存在定理 授课人:
一、内容及内容解析:
本章位于全书的第3章,零点主要是解决方程求解的问题,应用函数思想的方法,把方程与函数相结合,它在较难方程的求根方面有巨大的贡献,而零点存在定理能确定零点的存在范围,从而近似的确定零点的值,也即方程的近似根.
各个内容之间的联系:
方程的根⇔零点⇐零点存在定理

二分法
二、三维目标:
知识与技能:会使用零点存在定理解决问题,准确确定根的范围,并且使用二分法找到相应方程的近似解.
过程与方法:通过分析零点附近的值的关系,得到0)()(<b f a f 的特点,并且通过辨析引出定理,得到定理后,还要针对定理中的每一项进行辨析,得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间,为了得到零点的值我们又引入了二分法,从而能近似的求解出零点.
情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.
三、教学难点与重点:
[难点] 二分法的使用及对定理的理解.
[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.
四、设计教学
上节课我们学习了零点的定义,所以我们知道了如果画出了函数图像,我们就能知道函数是不是有零点,那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办?我们还能知道函数有没有零点吗?通过今天的学习,我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.
1、引入定理
通过之前的例题,我们知道函数的零点可能有若干个,为了使问题简化,我们首先考虑函数只有一个零点的情况.
请大家思考:若函数y=f(x)是连续不断的函数,且有一个零点,则函数零点两端的函数值有何特征?
因为函数只有一个零点,所以函数图象与x 轴只有一个交点。

那函数图象与x 轴会有哪些位置关系呢?不难想到(无非是两种情况):一种为函数图象不穿
过x轴;另一种是函数图象穿过x轴。

(1)大家先看第一种情况,函数零点附近函数值有何特征呢?(同学回答)
这种情况下,零点附近函数值同号。

那我在零点两端各选一个代表a,b,则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0;
(2)我们再看另一种情况,此时零点附近函数值有何特征呢?
(图像在PPT上显示动画过程,让学生观察出图像穿过x轴的过程,然后知道零点附近的值相反.)
无论怎么穿过,都有零点左右函数值异号,同样,我在零点两端各选一个代表a,b,则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.
【分析】
(1)如果函数的图象是连续不断的一条曲线,满足f(a)f(b)>0,那么函数在区间(a,b)内一定有零点吗?
①(不一定)那好,你能给大家举一个反例吗?
②(一定)好,你先请坐。

其他同学有不同意见么?
如果函数有零点,说明函数图象一定与x轴有交点。

条件告诉我们f(a)f(b)>0,那我不妨设f(a)、f(b)同时为正,大家请看,通过这两个点的函数图象一定能与x 轴有交点么?
显然是不一定的,比如我举的这个反例。

这就说明满足这样条件的函数,不能确定
函数一定有零点。

(2)如果函数的图象是连续不断的一条曲线,满足f(a)f(b)<0,那我就不妨设f(a)小于0,f(b)大于0,那么函数在区间(a ,b )内一定有零点吗?大家可以在纸上画一画,试试看。

①(一定)好,那其他同学呢?都同意他的观点吗?
②(不一定)你能为大家说明一下你的理由么?
由于函数的图象是连续不断的,并且端点函数值异号,所以无论怎么画,函数图象一定会与x 轴有交点,从而说明函数怎么样?——一定有零点!
这样,我们就得到了判断函数是否有零点的方法,即函数零点存在性定理:
2、零点存在定理
若函数y=f (x )的图象在区间[a,b ]上是连续不断的一条曲线,且有f(a)f(b)<0, 那么函数y=f (x )在区间(a ,b )内有零点。

即:存在实数c 属于(a ,b ),使得f (c )=0,其中c 为方程f (x )=0的根。

现在我有一个问题:若函数满足在[a,b ]上有f(a)f(b)<0,一定能推出(a,b )之间有零点吗?(思考)
如果可以请说明理由,不能的话请同学们举个反例.
在这个反例中,f(a)<0, f(b)>0,f(0)=0.5
我们来看,这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的,而至于它的严格证明,需要到大学阶段再去研究。

这样,我们通过引入函数的零点,将方程与函数建立起了联系,并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。

此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解,但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言,通常没有求根公式。

而通过函数零点存在性定理,就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。

【例】求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数.
【解析】因为,0)3(,0)2(><f f 所以在)3,2(之间有零点,又因为函数f(x)在),0(+∞上是单调递增的,所以这个函数只有一个零点.
根据零点存在定理,我们知道函数是否有零点,但是如果我们想知道零点的值怎么办呢?接下来,我们要学习一个新的求根方法-----二分法.
3、二分法(求根的近似值)
我们就以上面的例子来研究,即如何求62ln )(-+=x x x f 的零点呢?
一个最直观的想法就是:如果我们把零点存在的范围)3,2(尽量缩小,那么在一定的精确范围内,我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢?显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来,我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.
【解析】应用零点存在定理,我们知道了62ln )(-+=x x x f 在)3,2(之间有一个零点. 接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.
取)3,2(的中点 2.5,用计算器计算0084.0)5.2(<-≈f ,而0)3(>f ,那么0)3()5.2(<f f ,所以在)3,5.2(之间有零点,即缩小了零点所在的范围.
再取区间)3,5.2(的中点 2.75,用计算器计算0512.0)75.2(>≈f ,而0)5.2(<f ,即:0)75.2()5.2(<f f ,所以在)75.2,5.2(之间有零点.
我们可以看出零点存在的范围越来越小了,如果一直取下去,零点存在的范围会越来越小,这样,在一定的精确度下,我们就可以在有限次重复步骤之后,将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.
我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中:
如果当精确度为0.01时,由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我们可以将2.532作为函数62ln )(-+=x x x f 的零点近似值,也即方程062ln =-+x x 的近似根.
通过这道例题,我们总结一下使用二分法求近似根(给定精确度ε)的步骤:
1、确定区间[a,b ],验证0)()(<⋅b f a f ,给定精确度ε;
2、求区间1),(x b a 的中点;
3、计算的值;)(1x f
(1)就是函数的零点;则若11,0)(x x f =
(2)),(,,0)()(1011x a x x b x f a f ∈=<此时零点则令若;
(3)).,(,,0)()(1011b x x x a b f x f ∈=<此时零点则令若
4、判断是否达到精确度ε:即若ε<-||b a ,则零点的近似值是a (或b );否 则重复2-4步.
【课堂练习】
1、借助计算器,用二分法求方程x x lg 3-=在区间(2,3)的近似解.(精确到0.01)
2、借助计算器,用二分法求函数x
x x f 2ln )(-
=在区间(2,3)内的零点.(精确到0.1)
【作业】 .43P1096431108P 、,和、、、,。

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