圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

性质：圆内接四边形的对角。

【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】【重点考点例析】 考点一：垂径定理 例1（2017•舟山）如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ）A ．215B ．8C ．210D ．213思路分析：先根据垂径定理求出AC 的长，设⊙O 的半径为r ，则OC=r-2，由勾股定理即可得出r 的值，故可得出AE 的长，连接BE ，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt △BCE 中，根据勾股定理即可求出CE 的长．解：∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB=8，∴AC=12AB=4， 设⊙O 的半径为r ，则OC=r-2，在Rt △AOC 中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA 2=AC 2+OC 2，即r 2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，如图，连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°，在Rt △ABE 中，∵AE=10，AB=8，∴BE=22AE AB -==6，在Rt △BCE 中，∵BE=6，BC=4，∴CE=22BE BC +=2264213+=．故选D ．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．对应训练1．（2017•南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD ，则⊙O 的半径为（ ） A ．42B ．5C ．4D ．3 考点二：圆周角定理例2 （2017•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，已知B （8，0），C （0，6），则⊙A 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．8思路分析：连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．解：如图，连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得：BC=10，则圆A的半径为5．故选C点评：此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．对应训练2．（2017•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°【聚焦中考】1．（2017•泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC 等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°2．（2017•滨州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°3．（2017•潍坊）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A．42B．82C．25D．454．（2017•莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°5．（2017•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．（2017•日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD7．（2017•威海）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．7．解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴AD BD，∴∠C=12∠AOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠C=12∠COE，∵AO⊥BC，∴∠C=30°．（2）如图，连接OB，由（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=32，OF=12，∴AB=3，∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=21201111333602234ππ⨯-⨯⨯=-．【备考真题过关】一、选择题1．（2017•厦门）如图所示，在⊙O中，AB AC=，∠A=30°，则∠B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°1．B2．（2017•昭通）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（）A．28°B．42°C．56°D．84°3．（2017•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°3．B4．（2017•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．AD BD=B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°4．C5．（2017•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A．3B．5C．15D．176．（2017•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm7．（201•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．38．（2017•温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，S 1-S 2=4π，则S 3-S 4的值是（ ） A ．294π B ．234π C ．114π D ．54π 9．（2017•南通）如图．Rt △ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是 AB 的中点，CD 与AB 的交点为E ，则CE DE 等于（ ） A ．4 B ．3.5 C ．3 D ．2.89．C10．（2017•乐山）如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A （0，1），过点P （0，-7）的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点．则弦CD 长的所有可能的整数值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．C11．（2017•安徽）如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题12．（2017•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．13．（2017•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使AB经过圆心O，则∠OAB= ．14．（2017•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．15．（2017•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC 的度数是度．16．（2017•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．17．（2017•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为．18．（2017•娄底）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．三、解答题19．（2017•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．19．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12-3-1=8（m），∴GM=MH=4m，∵MN=2m，∴GO2=MO2+42，∴r2=（r-2）2+36，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．20．（2017•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．20．解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=12AC=12×2=1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=12r，在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（12r）2，解得r=233；（2）如图2，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，根据翻折的性质，AC所对的圆周角等于ADC所对的圆周角，∴∠DCA=∠B-∠A=65°-25°=40°．21．（2017•贵阳）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB 于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF是等边三角形；（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）21．（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC=BC，∵AE=BF，∴EC=FC，∵OC⊥EF，∴OE=OF，∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形；（2）解：∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°，∴∠AOF=90°，∵AO=10，∴OF=1033，∴S△AOF=12×1033×10=5033，S扇形AOD=90360×102=25π，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-5033．22．（2017•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．22．（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴BC BD，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=35，即BCAB=35，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．。