中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一 数字规律型例1. (2011丽江)下面是按一定规律排列的一列数：23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意，首先从各个数开始分析，n=1时，分子：2=(﹣1)2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+. 【答案】解：∵n=1时，分子：2=(-1)2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(-1)3•22，分母：5=2×2+1；n=3时，分子：8=(-1)4•23，分母：7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=(-1)5•24，分母：9=2×4+1；…， ∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2：(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是( ).21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现，本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1.有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．2.(2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60，A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果)，并比较A 103 A 104(填“＞”或“＜”或“=”)类型之二 图形规律型例3：(2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这样的图形中共有 个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化，解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1，图③8个3+2+2+1+1，图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为： 10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100． 【答案】100．例4： (2011兰州)如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .⑴ ⑶ 1+8=? 1+8+16=? ⑵1+8+16+24=? ……【简析】易得第二个矩形的面积为21()2，第三个矩形的面积为41()2，依次类推，第n 个矩形的面积为221()2n -．【答案】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的(12)2×2﹣2=14； 第三个矩形的面积是(12)2×3﹣2=116；…故第n 个矩形的面积为：(12)2n ﹣2．对应练习3. (2010重庆)下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( )……图① 图② 图③ 图④A ．55B ．42C ．41D ．294.(2010济南)观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n (n 是正整数)的结果为( ).A ．2(21)n +B ．2(21)n -C ．2(2)n +D ．2n5. (2011青岛)如图，以边长为1的正方形ABCD 的边AB 为对角线作第二个正方形AEBO 1，再以BE 为对角线作第三个正方形EFBO 2，如此作下去，…，则所作的第n 个正方形的面积S n = ．类型之三 数式规律型例5：(2011济南)观察下列各式：……(1)1=12；(2)2+3+4=32；(3)3+4+5+6+7=52；(4)4+5+6+7+8+9+10=72… 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是( ) A ．1005+1006+1007+…+3016=20112 B ．1005+1006+1007+…+3017=20112 C ．1006+1007+1008+…+3016=20112 D ．1007+1008+1009+…+3017=20112【简析】根据已知条件找出数字规律a +(a +1)+(a +2)+…+(a +n )=(a +n ﹣a +1)2，依次判断各个式子即可得出结果．【解答】根据(1)1=12；(2)2+3+4=32；(3)3+4+5+6+7=52；(4)4+5+6+7+8+9+10=77 可得出：a +(a +1)+(a +2)+…+(a +n )=(a +n ﹣a +1)2， 依次判断各选项，只有C 符合要求，故选C ． 例6：(2011成都)设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++设...S =S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．【简析】222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ， ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ，∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n 【答案】122++n nn对应练习6(2011常德)先找规律，再填数：2112111=-+，121214131=-+，301316151=-+，561418171=-+，则2012120111+- =201220111⨯． 7(2009济南)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，，()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，， ()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于( ) A ．()53--， B ．()53， C ．()53-，D ．()53-，类型之四坐标规律型例7：(2011•莱芜)如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为_________．【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为(12，0)，图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24，0)，所以，图⑨、⑩10的直角顶点为(36，0)．【解答】∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴图③、④的直角顶点坐标为(12，0)，∵每旋转3次为一循环，∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24，0)，∴图⑨、⑩的直角顶点为(36，0)．【答案】(36，0)．例8(2011盐城)将1、2、3、6按右侧方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(15，7)表示的两数之积是．【简析】：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m－1排有(m－1)个数，从第一排到(m－1)排共有：1+2+3+4+…+(m－1)个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．(5，4)表示第5排从左向右第4个数是：2，(15，7)表示第15排从左向右第7个数是：6，62 ＝23．【答案】23．对应练习8. (2011•贺州)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是．9. (2011梧州)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A坐标是(a，b)，则经过第2011次变换后所得的A点坐标是．类型之五图表规律例9：(2011•遵义)有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2011次输出的结果是．【简析】首先由数值转换器，发现第二次输出的结果是 4 为偶数，所以第三次输出的结果为2，第四次为1，第五次为4，第六次为2，…，可得出规律从第二次开始每三次一个循环，根据此规律求出第2011次输出的结果．【答案】由已知要求得出：第一次输出结果为8，第二次为4，则第三次为2，第四次为1，那么第五次为4，…，所以得到从第二次开始每三次一个循环，(2011﹣1)÷3=670，所以第2011次输出的结果是1．【答案】1．例10：(2010广东)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36…………………………(1)表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是________________，第n行共有_______________个数；(3)求第n行各数之和．【简析】(1)数为自然数，每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，很容易得到所求之数；(2)知第n行最后一数为n2，则第一个数为n2﹣2n+2，每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，故个数为2n﹣1；(3)通过以上两部列公式从而解得．【解答】 (1)每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，由题意最后一个数是该行数的平方即得64，其他也随之解得：8，15；(2)由(1)知第n行最后一数为n2，则第一个数为n2﹣2n+2，每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，故个数为2n﹣1；(3)第n行各数之和：22222n n n-++×(2n﹣1)=(n2﹣n+1)(2n﹣1)．对应练习：10. (2011綦江)如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格3 a b c －1 2 …A．3 B．2 C．0 D．－1类型之六与函数有关的规律型例11：在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n 均在x轴上．若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点A n的坐标为．【简析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．【解答】解：A1的坐标是(0，1)，A2的坐标是：(1，2)，根据题意得：12bk b=⎧⎨+=⎩，解得：11bk=⎧⎨=⎩．则直线的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为(3，2)，∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；据此可以得到An 的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．故点An的坐标为 (2n-1-1，2n-1)．【答案】(2n-1-1，2n-1)．例12：(2011广安)如图4所示，直线OP经过点P(4, 43，过x轴上的点l、3、5、7、9、11……分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3……S n ，则S n 关于n 的函数关系式是____________．【简析】运用待定系数法可以确定一次函数的解析式，根据函数解析式，已知自变量x 的值可求得函数y 的值，从而可以确定每个梯形的上底与下底的长，根据梯形的面积公式可计算出每个梯形的面积，由此发现规律，根据规律可得S n 关于n 的函数关系式．设直线OP 的函数解析式为y kx =，根据题意可知443k =，所以3k =所以3y x =．当1x =时，3y =3x =时，33y =5x =时，53y =7x =时，3y =9x =时，3y =；当11x =时，113y =；…；所以133324312S ⨯==，(25332123332S ⨯===，(39311322034352S ⨯===，…，所以)4321n S n =-． 【答案】)4321n S n =-对应练习：11.(2011威海)如图，在直线l 1⊥x 轴于点(1，0)，直线l 2⊥x 轴于点(2，0)，直线l 3⊥x 轴于点(3，0)…直线l n ⊥x 轴于点(n ，0)．函数y=x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…A n ，函数y=2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…B n ．如果△OA 1B 1的面积记为S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…四边形A n –1A n B n B n –1的面积记作S n ，那么S 2011= ．达标演练1.(2011•日照)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在()A.第502个正方形的左下角B.第502个正方形的右下角C.第503个正方形的左上角D.第503个正方形的右下角2.(2011济宁)如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有个．3.(2011•南平)观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第(11)个图形中小正方形的个数为()A．78 B. 66 C. 55 D. 504.(2011东营)如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有个．5. (2011烟台) 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK 1，弧K 1 K 2，弧K 2 K 3，弧K 3 K 4，弧K 4K 5，弧K 5 K 6，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于( ) A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π6.(2011•安顺)一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )A 、(4，O)B 、(5，0)C 、(0，5)D 、(5，5)7.将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(n ，m)表示第n 排，从左到右第m 个数，如(4，3)表示实数9，则(7，2)表示的实数是 .8. (2011菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ．。