解:mab(4,32),n2ab(7,8). (1) mn,7(4)8(32)0,52.
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(2) 8(4)7(32)0,1.
2
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 1 、 设 点 A 坐 标 为 (5, 7),点 B 坐 标 为 ( 6, 4), 求 O A O B 及 |A B|.其 中 O 是 坐 标 原 点
解 :O A O B 5 ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) 3 0 2 8 2 . |A B |(5 ( 6 ))2 ( 7 ( 4 ))21 3 0 .
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 2 、 已 知 a ( 4 ,3 ) ,b ( 1 ,2 ) ,m a b ,n 2 a b 求 的 值 或 范 围 :
( 1 ) m n ; ( 2 ) m // n ; ( 3 ) m 与 n 的 夹 角 是 钝 角 ; ( 4 ) |m | |n |.
向量数量积坐标运算优秀课件
复习回顾
(1)a b | a || b | cos
(2)a a | a |2 或| a | a a；
a b a b 0;cos a b .
| a || b |
我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
复习回顾
两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 ab ab0
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x2y1 0
两向量夹角公式的坐标运算 设a与b的夹角为 （0 180）， 则cos ab
ab
设a（x1, y1),b(x2, y2),且a与b夹角为 ， (0 180)则cos x1x2 y1y2 .
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 4 、 已 知 a ( 1 , 3 ) , b ( 3 1 , 3 1 ) , 则 a 与 b 的 夹 角 是 多 少 ？
解 :由 a(1, 3),b( 31, 31),得 ab313( 31)4,
|a|2,|b|22.
设 a与 b的 夹 角 是 ,则 cosab 2, 0, .
运算律
1． ab b a
2． a b a b a b 3． a b c a c b c
不满足结合律 即 :(a b )c a (b c ) 不满足消去律 即:abac推不b出 c
ab0也推b不 0或 出 a0
平面向量数量积的坐标表示
在坐标系中，已知两个非零向量 a(x1, y1)
x1x2 y1y2
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
abx1x2y1y2.
向量的模和两点间的距离公式
( 1 ) a a |a |2 或 |a |a a ；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ), A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
b(x2,y2)如何用坐标表示 a b
先看x轴,y轴上的单位向量 i(1,0),j(0,1)
i i 1. j j 1 .
i j j i 0 .
平面向量数量积的坐标表示
ax1iy1 j bx2iy2 j,
ab(x1iy1 j)(x2iy2 j)
2
2
x1x2i x1y2i jx2y1i jy1y2 j
x12 y12 x22 y22 其中x12 y12 0，x22 y22 0.
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 3 、 已 知 A ( 1 , 2 ) , B ( 2 , 3 ) , C ( 2 , 5 ) , 求 证 A B C 是 直 角 三 角 形 . .
证 明 :A B ( 2 1 ,3 2 ) ( 1 ,1 ) ,A C ( 2 1 ,5 2 ) ( 3 ,3 ) , A B A C 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 0 , A B A C , A B C 是 直 角 三 角 形
|a||b| 2

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平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 1 、 已 知 a ( 3 , 2 ) , b ( 4 , k ) , ( 5 a b ) ( b 3 a ) 5 5 , 试 求 k 的 值 .
解: a(3,2),b(4,k) (5ab)(b3a)(11,10k)(5,k6) 55(k10)(k6)55, (k10)(k6)0,k10或k6.