2 .3 .3 向量数量积的 坐
标运算与度量公式
北
A
45°
东 Ｂ
复习引入
(1) a b a b cos ( 2) a a a 或 a
2
a a； a b a b .
a b a b 0; cos
练习已知a (1, 3), b (1,0), 求a与b的夹角 .
若C 90 ，则CA CB, CA CB=0,-2 (1)+(-k)(3-k)=0, k=1或2.
要注意分类讨论！
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a ＝（4，3），向量 b是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
3 4 3 4 答案：（ 1 ） b ( , )或b ( , ). 5 5 5 5 （2）（ 2， 2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
提高练习
1、已知OA (3,1)， OB (0,5)，且 AC // OB， BC AB ，则点C的坐标为
a x1 i y1 j
2
b x2 i y2 j
b
y
B(x2,y2)
j
A(x1,y1)
a
i
a b （x1 i y1 j ） （ x 2 i y2 j ）
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 j i y1 y2 j
2
o
x
a b x1 x 2 y1 y2
O
A x
练习3：在ΔABC中，设 AB=(1,3),AC =(2,k), 且 ΔABC是直角三角形，求k的值.
2 解:若A 90 ，则AB AC, AB AC=0,1 2+3k=0, k=- . 3
8 若B 90 ，则BA BC, BA BC=0,-1 1+(-3)(k-3)=0, k= . 3
2 2 2 2
二.向量的模和和夹角的坐标表示 3.两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 a b a b
0
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1 x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a// b x1 y2 x2 y1 0
(2)已知a (2,3), b (2,4), 则（a b） （ a b） .
法一： a b (0,7), a b (4,1) （a b） （ a b） 0 4 7 (1) 7. 法二：（a b） （ a b） a b
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
b = (-3，2)， a = (1，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k =－ 1.
3、已知
4.已知 a =(1, 3),b =( 3+1, 3 1)， 则a与b的夹角是多少?
新课学习
一.平面向量数量积的坐标表示
如图，是 j y轴上的单位向量. i x轴上的单位向量，是
a b a b cos
y A(x ,y ) 1 1
B(x2,y2)
b
j
1 1 j j . . i i 0 i j j i .
a
o i
x
一.平面向量数量积的坐标表示 思考1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？
5.已知 a （3， 4）， b （2， 1），且（a mb）（ a b）， 则实数m为何值？
解： a mb （ 1， 5 ） （3 2m， 4 m） a b
（ a mb ） （ ab ） （ a mb ） （ ab ） 0
解：由a =(1, 3),b =( 3+1, 3 1), 有 a b 1 ( 3 1) 3 ( 3 1) 4, a 2, b 2 2，
记a与b的夹角为θ，则 cos
又∵０≤θ≤π，∴
cos
a b ab

4
评述:已知三角函数值求角时,应注意角的 范围的确定。
注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3 ), b (1,1), 求a b， a b， a与b的夹角 .
解: a b 1 3， a b 2 4 2 3 2(1 3) 1 cos , 0 180 , 60 . ab 2 a b
a （ x 2 x1 ） （ y 2 y1 ）
2 2
（平面内两点间的距离 公式）
二.向量的模和和夹角的坐标表示
2.两向量夹角公式的坐标运算
两非零向量 a （x1，y1 ）， b （x2，y2） ,夹 角 为
cos ab ab

x1 x2 y1 y2 x1 y1 x1 y1
即（ 3 ห้องสมุดไป่ตู้ 2m） 1 （ 4 m） 5 0 m 23
3
小 结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
二.向量的模和和夹角的坐标表示
aa a
2
或 a
a a；
1.向量的长度（模）
设a=(x, y), 则 a = x +y , 或 a = x +y
为 （x1，y1 ），（ x 2，y 2 ），那么
2
2
2
2
2
若表示向量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 终的 坐 标 分 别
2 2 2 2
a b 13 20 7
练习1：课本P114
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5)
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
y
B(2,3)
A(1,2)
x
AB AC
其他证明方 向量数量积是否为零，是判断相应两条线段或直线的重 法吗？ 要方法之一
0 三角形 ABC是直角三角形思考：还有 .
练习2：以原点和A（5，2） 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，B=90，求点B的坐标. 3 7 y 答案：B的坐标为（ ， ） B 2 2 7 3 或（ ， ） 2 2
创设教学情境
练习已知a (1, 3), b (1,0), 求a与b的夹角 .
变式练习已知a (1, 3), b (1,1), a与b的夹角, 求cos .
同样是已知两向量的坐标，为什么练习题 中的夹角易求,而变式练习中的夹角的余 弦值不易求？
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 a和b的坐标表示a b呢？ 样用