课题：直接证明和间接证明
教学目标：
1.掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用综合法和分析法证明不等式.
2. 了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 教学重点：
灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的变形、配凑，会灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题 .
教材复习
比较法证明不等式的基本步骤：⎧⎫⎪⎪⎪
⎪
→→⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎭
⎩
配方法分解法作差（商）变形判断通分法放缩法有理化
综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不
等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。

分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至
找到题设条件或已经证明的基本不等式。

可简称为“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“⇐”或“⇔”表达。

反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
常用的换元有三角换元有：
已知2
2
2
a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知12
2
≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,
要注意放缩的适度。

常用的方法是：
①添加或舍去一些项，如：a a >+12
，n n n >+)1(，2
2
131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
②将分子或分母放大（或缩小）
③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则
a a m
b b m
+<
+ ④利用基本不等式，如：
4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (
5lg 3log 2
=<=+<⋅；
⑤利用函数的单调性
⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2
x x -
≥
1
4
()x R ∈；2
0x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：
2
=>=
()*
,1k N k ∈>
，
2=<=()*
,1k N k ∈>
Ⅱ、
k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112
+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、
)1
111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；
典例分析：
考点一
用综合法证明不等式
问题1．()1已知0,0,0a b c >>>，且互不相等，1abc =，
(1)
2
n n ++<
111
a b c
<++
考点二用分析法证明不等式
问题2．设0,0,2
a b c a b
>>>+，求证：c a c
<
问题3．已知0
a>，0
b>，且a b
≠
>
用比较法、综合法、分析法证明，用尽可能多的方法）
考点三 用反证法证明不等式
问题4．已知332x y +=，求证：x y +≤2．
考点四 用放缩法证明不等式
问题5．求证：2231111
12212n n n
-
<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)
课后作业：
1.已知：222121n a a a ++
+=，222121n x x x +++=，*n N ∈
求证: 1122n n a x a x a x +++≤1．
2.下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中
.A 至少有一式小于1- .B 都小于1- .C 都大于等于1-，.D 至少有一式大于等于1-
3.若a ≥3,求证：321---<--a a a a ．
4.已知221x y +=，求证：≤y ax -
5.若,,a b c R +∈，1a b c ++=,求证：()1()2111
(1)(1)(1)a b c
---≥8
6.求证：1-≤
2
11x x x --+≤1
3
7.求证：22
2
111
1223n +
+++
<
8.
||1||a b a b +++≤||||
1||1||
a b a b +++
9.已知ABC △的三边长为a 、b 、c ，若1a 、1b 、1
c
成等差数列.求证：B 不可能是钝角.
10.求证：21
<+⋅⋅⋅<()*n N ∈.
11.设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：1
03
c -<<．
12. 已知 1≤22x y +≤2，求证：1
2
≤22x xy y -+≤3.
13.设0,0,,111x y x y
x y A B x y x y
+>>=
=+++++，则,A B 的大小关系是。