P(A) 1 2 P(B) P(C)
P(AB) 1 4 P(BC) P(AC) P(ABC)
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(AC) P(A)P(C)
P(ABC) P(A)P(B)P下运算律： (1) 积事件 P(AB)=P(A)P(B) (定义)
P( A B) P( AAn 相互独立，则有
P( A1A2 An) P( A1)P( A2) P( An) (定义)
推导：
P( A1 A2 An) 1 P( A1 A2 An) 1 P( A1 A2 An) 1 P( A1)P( A2) P( An)
P( A)
一般地，A的发生对B的发生的概率是有影响的，
即一般地， P(B| A) P(B)
因此，只有在A的发生不会影响B发生概率时， 才会有 P(B|A)=P(B)。
由乘法公式，这时有
P(AB) P(A)P(设A=“甲币出现正面”，B=“乙币出现正面”
(2) 和事件 P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P( A)P(B)
P(A B) 1 P( A B) 1 P(A B)
P(A B) 1 P(A)P(B)
(3) 差事件 P( A B) P( AB) P( A)P(B)
若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两 两独立，但它们两两独立未必相互独立，因 为条件(1)一般推不出条件(2)。
若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两 课 两独立，但它们两两独立未必相互独立，因 为条件(1)一般推不出条件(2)。
反例 设样本空间 S {1,2, 3, 4} 事件 A {1, 2} B {1,3} C {1,4} 则 AB {1} BC AC ABC
也相互独立： A与 B A与 B A与 B
A
独立
B
互斥
互斥
三个事件A, B, C相互独立是指： (1) 它们两两独立： P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C)
(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
直观地讲， 两个事件相互独立是指一个事件发 生的概率不受另一个事件发生与否的影响。
如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A, B独立。
定理一 设A, B是两个事件，且P(A)>0，则A, B 独立的充分必要条件是 P(B|A)=P(B)。
证 充分性 设P(B|A)=P(B)
P(AB) P(A)P(B | A) P(A)P(B)
而A, B互斥时，有 AB
A与B互斥
得 P(AB) P() 0
例如 S {1, 2,3, 4}
A {1} B {2,3} AB P(A)P(B) 1 2 1
44 8 P(AB) 0
AB A与B不独立
定理二 若事件A与B相互独立，则以下各对事件 也相互独立：
乘法公式
已知条件
必要性 设A, B独立 即 P(AB)=P(A)P(B)
P(B | A) P(AB) P( A)
P(A)P(B) P( A)
P(B)
条件概率
已知条件事件独立与互斥的关系 传课独立性是事件之间的概率属性，而事件互斥 是 指事件之间本身的关系（不涉及概率）。
我们说两个事件相互独立，是指一个事件出现 的概率与另一个事件是否出现没有关系。
则 A {4,5,6} B {2,4,6} AB {4,6}
ห้องสมุดไป่ตู้
P(A) 3 1 P(B) 62
P(B | A) P(BA) 2 6 P(A) 3 6
P(B| A) P(B)
设A, B是试验E的两个事件。传课当P(A)>0时，可以定义条件概率：P(B| A) P(AB)独立性传课（一）独立性的概念与性质
设A, B是试验E的两个事件。传课当P(A)>0时，可以定义条件概率：P(B| A) P(AB)
P( A)
一般地，A的发生对B的发生的概率是有影响的，
即一般地， P(B| A) P(B)
例如，掷一颗骰子，观察其点数。
设A=“点数大于3”，B=“点数为偶数”
P(A) 2 1 P(B) 42
P(AB)

1 4
P(B | A) P(AB) 1 4 1 P(A) 1 2 2
有 P(B| A) P(B)
P(AB) P(A们满足等式
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立，简称A, B独立。
A与B A与B A与B 证 要从 P(AB) P(A)P(B)
推出 P(AB) P(A)P(B)
P(AB) P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B) P(A)[1 P(B)] P(A)P(B)
定理二 若事件A与B相互独立，则以下各对事件
而两个事件互斥（不相容），是指一个事件出 现必然导致另一个事件不出现，从而一个事 件 的出现与另一个事件是否出现密切相关，
从而两个互斥事件一般不是独立的。
或者说，两个独立的事件一般不是互斥(B)>0,
则A, B独立与A, B互斥不能同时成立，
因为A, B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)>0
这个公式极大简化了 和事件第1的1讲概事率件的运独立算性(I)